Статистические оценки параметров распределения

Значения количественного признака х₁, х₂, ..., х_k в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвест­ного параметра теоретического распределения означает отыс­кание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра. Укажем виды статистических оценок.

Несмещенной называется статистическая оценка , мате­матическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

Смещенной называется оценка, при которой условие (18.51) не выполнено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Со­стоятельной называется статистическая оценка типа (18.50), которая при п > стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего, это средние. Генеральная средняя для изучаемо­го количественного признака Х по генеральной совокупности

и выборочная средняя

Если значения признака х₁, x₂, …, х_k в выборке имеют соответ­ственно частоты n₁, n₂, ..., n_k, то последнюю формулу можно переписать в виде

Можно показать, что выборочная средняя (18.52) является не­смещенной оценкой; это аналог математического ожидания случайной величины.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие от­клонение значений количественного признака Х от своего сред­него значения. Это генеральная дисперсия:

и выборочная дисперсия:

Можно показать, что для вычисления этих характеристик справедливы более удобные формулы, аналогичные дисперсии случайной величины; так, формула (18.53) принимает вид

Генеральное среднее квадратическое отклонение опреде­ляется как

Аналогично вводится и выборочное среднее квадратическое отклонение

Пример 4. Выборка задана таблицей распределения

Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. По формуле (18.52) сначала находим _в:

Затем по формулам (18.54) и (18.55) находим две другие иско­мые величины:

Виды дисперсий

Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой группы можно определить групповую среднюю и дис­персию. Пусть r — число групп. Групповой дисперсией на зывается дисперсия значений признака в группе относительно групповой средней:

где n_i — частота значения x_i в группе, j — номер группы _j — групповая средняя j-й группы, N_j = n_i, — объем j-й группы.

Зная дисперсию каждой группы, можно определить их сред­нюю арифметическую. Внутригрупповой дисперсией называ­ется средняя арифметическая дисперсий, где каждое слагаемое входит с весом объема группы:

В свою очередь, зная для всех групп средние _j и общую среднюю , введем еще одно понятие. Межгрупповой диспер­сией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:

где п = — объем всей совокупности.

Для общей дисперсии всей совокупности справедлива сле­дующая теорема, которая приводится здесь без доказатель­ства.

ТЕОРЕМА 6. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

где слагаемые в правой части определяются соответствен­но формулами (18.57) и (18.58).

Поясним сказанное в этом пункте на примере.

Пример 5. Совокупность состоит из двух следующих групп:

Найти групповые, внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии.

Решение. Объемы групп соответственно равны N₁ = 10 и N₂ = 5. Общий объем совокупности: п = 10 + 5 = 15. Найдем групповые средние:

Теперь находим групповые дисперсии по формуле (18.56):

Внутригрупповая дисперсия, согласно формуле (18.57), равна:

Теперь найдем межгрупповую дисперсию по формуле (18.58), для чего сначала определим общую среднюю:

Наконец, общая дисперсия, согласно формуле (18.59), равна: