Асимметрия и эксцесс

В прикладных задачах, например в математической ста­тистике, при теоретическом изучении эмпирических распре­делений, отличающихся от нормального распределения, воз­никает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.

Определение 6. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего поряд­ка к кубу среднего квадратического отклонения:

Определение 7. Эксцессом теоретического распределения на­зывается величина, определяемая равенством

где μ₄ — центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения A_s = Е_k = 0. При отклоне­нии от нормального распределения асимметрия положительна, если "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствую­щей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 18.7, а, б).

Эксцесс характеризует "крутизну" подъема кривой распре­деления по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс поло­жителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину (рис. 18.7, в).

Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дис­персии для нормального и теоретического распределений.

Пример 5. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом следующего распределения:

Найти асимметрию и эксцесс теоретического распределения.

Решение. Найдем сначала математическое ожидание слу­чайной величины:

Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение (см. фор­мулы (18.27)-(18.31)):

Теперь по формулам (18.45) и (18.46) находим искомые вели­чины:

В данном случае "длинная" часть кривой распределения рас­положена справа от моды, причем сама кривая является не­сколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.

18.6. Некоторые элементы математической статистики Задачи математической статистики

Первой задачей математической статистики является ука­зание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статис­тических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зави­симости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах пара­метров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Выборки

На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К то­му же если эта совокупность содержит большое число объек­тов или исследование объекта требует нарушения его функцио­нального стандарта, то сплошное исследование нереально. В таких случаях из всей совокупности случайно отбирают огра­ниченное число объектов и подвергают их исследованию.

Введем основные понятия, связанные с выборками. Гене­ральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупнос­тью (выборкой) называется совокупность случайно отобран­ных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки п = 100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если пос­ле исследования объект из выборки возвращается в генераль­ную совокупность, то такая выборка называется повторной; если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

Выборка называется репрезентативной (представитель­ной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности.