Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная величина Х может принимать значения x₁, x₂, ... , x_n c вероятностями соответственно p₁, p₂, …, p_n.

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Из этого определения следует, что математическое ожи­дание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Ве­роятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значений слу­чайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятнос­ти всех возможных значений дискретной случайной величины равны: p_i = р = 1/n; из формулы (18.5) получаем

Пример 1. Найти математическое ожидание количества оч­ков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Выпадение каждой грани кубика от одного очка до шести имеет одинаковую вероятность р = 1/6. Следова­тельно, по формуле (18.6) получаем искомое математическое ожидание:

Пример 2. Найти математическое ожидание числа невозвра­та кредитов по данным примера 4 п. 18.1.

Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределе­ния дискретной случайной величины, полученной в этом при­мере, и формулой (18.6); находим

Свойства математического ожидания

Математическое ожидание обладает рядом свойств, кото­рые указаны ниже.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной вели­чины С равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения не­зависимых случайных величин равно произведению их мате­матических ожиданий:

Пример 3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и ре­кламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в сред­нем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при це­не на машину 150 тыс. р.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по фор­муле

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):

Если в п независимых испытаниях вероятность появле­ния в каждом из них события А постоянна, то ответ на во­прос о среднем числе появления события А дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание М(Х) числа появ­лений события А в п независимых испытаниях равно произве­дению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Пример 4. Найти математическое ожидание числа выигрыш­ных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по од­ному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.

Решение. Поскольку приобретение каждого билета явля­ется независимым испытанием относительно появления собы­тия А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теорема 18.1 и формула (18.7). В нашем случае n = 200, р = 0,015, откуда мы получаем