Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А в каждом ис­пытании постоянна (см. раздел 17.5). В качестве дискретной случайной величины Х рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, ..., x_n+1 = n. Вероятности этих возможных значений k даются фор­мулой Бернулли (см. формулу (17.16)):

где q = 1 - р — вероятность противоположного события (непо­явление события А в одном испытании). Формула (18.2) пред­ставляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины (числа появления события А в n незави­симых испытаниях), которое называется биномиальным. Этот закон получил свое название потому, что правая часть в (18.2) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона (17.2). Таким образом, табличная форма биномиального закона с учетом формулы (18.2) имеет вид

Можно показать, что сумма всех вероятностей второй стро­ки этой таблицы равна единице, т.е.

Пример 4. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозвра­та кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вер­нувших кредит по окончании срока кредитования.

Решение. Примем за А событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу 5 кредитов можно считать за 5 независимых событий. Вероятность невоз­врата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределе­нием (18.2), где р = 0,2, q = 0,8, k принимает значения от нуля до 5. Искомая таблица закона распределения составляется, со­гласно (18.3), при п = 5:

или окончательно:

Распределение Пуассона

Пусть в каждом из п производимых испытаний вероят­ность появления события А равна р. Как мы знаем, для опреде­ления вероятности k появлений события А используется фор­мула Бернулли (18.2); при больших п пользуются асимптоти­ческой формулой Лапласа (17.17). Однако эта формула плохо подходит для случая, когда р мало. Для случая малых значе­ний р и больших значений п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допу­щении, что произведение пр является постоянной величиной, т.е. пр = λ. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, дается формулой, которая представляет собой за­кон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий:

Пример 5. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.

Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, k = 4. Находим А, а затем по формуле (18.4) и искомую вероятность:

18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Установленный закон распределения полностью характе­ризует случайную величину. Однако часто используются чи­словые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получа­емое на базе закона ее распределения.