17.5. Схема независимых испытаний Формула Бернулли

Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются неза­висимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испыта­ния, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тог­да вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из п ис­пытаний, определяется формулой Бернулли

Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т.е. р = q = 0,5. 1) В этом случае п = 6, k = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем

Пример 2. Вероятность покупки бракованного комплекта по­суды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.

Решение. Вероятность покупки комплекта без брака р = 0,9, q = 0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находится по формуле (17.16):

Пример 3. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каж­дый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного от­вета на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (17.16) с учетом того, что вероятность со­бытия А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор от­вета на вопрос теста) равна 0,25, а q = 0,75. Отсюда получаем:

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду уве­личения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следую­щей локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда веро­ятность P_n(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции φ(x):

Точность формулы (17.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ(x) (см. Приложение), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. По­скольку функция φ(x) четная,то в таблицах даются ее значения только для положительных значений х; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (17.17) носит название асимтотической формулы.

Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3, в нашем случае п = 100, k = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ(x); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает при­ближенное значение искомой вероятности: