17.4. Обобщения теорем сложения и умножения Появление только одного из независимых событий

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А₁ и А₂ имеют вероятности появления соответственно p₁ и р₂. Найдем вероятность появления только одного из этих событий. Для этого введем новые события: В₁ и B₂. Событие В₁ состоит в том, что событие А₁ наступило, а событие А₂ не наступило; иными словами, В₁ = A₁₂. Аналогичным образом определя­ется и событие B₂ = ₁A₂ (совместное ненаступление события A₁ и наступление события А₂). Поскольку события А₁ и A₂ независимы, то независимы также и противоположные coбытия ₁ и ₂; тогда события В₁ и В₂ являются несовместными. Вероятность наступления только одного из событий А₁ и А₂ находится как сумма вероятностей несовместных событий В₁ и B₂:

где _q1 = 1 – p₁ , q₂ = 1 - р₂.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех не­зависимых событий A₁, А₂, А₃ с вероятностями наступления соответственно р₁, р₂ и р₃:

где B_i — произведения наступившего события А_i и двух дру­гих ненаступивших событий (i = 1, 2, 3). Для случая п неза­висимых событий формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма п слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности наступления одного из событий на вероятности (n - 1) других противоположных событий.

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из кон­трактов не "лопнет", равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не по­теряет, если либо не "лопнет" один из контрактов (другой воз­местит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события А₁ и А₂ — это выполнение соответствующих контрактов (вероятность р = 0,8); эти события являются независимыми. Противоположные им события ₁ и ₂ — не­выполнение контрактов (вероятность q = 0,2). Тогда собы­тия В₁ = А₁₂, В₂ = ₁A₂ и A₁A₂ являются несовместны­ми (последнее событие — это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (17.10) и (17.7):

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение 1. События А и В называют совместными, ес­ли в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.

Для таких событий справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произве­дения:

Из формулы (17.12) получается ряд следующих частных случаев.

1. Для независимых событий с учетом формулы (17.7)

2. Для зависимых событий с учетом формулы (17.5)

3. Для несовместных событий Р(АВ) = 0, и в этом случае имеем подтверждение теоремы 17.1 и формулы (17.3):

Пример 2. Вероятности поражения цели первым и вторым стрелками равны соответственно 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе.

Решение. Поскольку вероятности поражения цели стрел­ками (события А и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события не­зависимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле (17.13):

Аналогичный результат можно было бы получить и с при­менением формулы (17.8). Пусть событие А — поражение цели, и — события, соответствующие промахам стрелков, тогда