Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {х_п} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {x_п} и {y_п}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {х_п} и {у_п}.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {х_п} и {у_п} при условии, что предел последовательности {у_п} отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {х_п} и {y_п}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {х_n} удовлетворяют неравенству x_п ≥ b (х_п ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель наn². Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

Пример 4. Найти предел последовательности {x_п} = при п .

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n, получаем

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, то в силу свойства 8 окончательно получаем

Пример 5. Найти предел последовательности {х_п} = при п .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {х_п}. Умножим и разделим формулу для {х_n} на сопряженное выражение :

Число е

Рассмотрим последовательность {х_п}, общий член которой выражается формулой

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, по определе­нию

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .