Добавил:
Upload
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математики и ее приложения в экономическом образовании_Красс М.С., Чупрынов Б.П_2001 -688с.doc
X
- •Максим Семенович красс,
- •Борис Павлович чупрынов
- •Основы математики и ее приложения
- •В экономическом образовании
- •117571, Mocква, пр-т Вернадского, 82
- •109088. Москва, ж-88 Южнопортовая ул., 24
- •Предисловие
- •Введение
- •Раздел I. Основы математики Часть 1. Математический анализ
- •Глава 1. Множества
- •1.1. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами
- •1.2. Вещественные числа и их свойства
- •А. Сложение и умножение вещественных чисел
- •В. Сравнение вещественных чисел
- •С. Непрерывность вещественных чисел.
- •1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
- •1.4. Грани числовых множеств
- •1.5. Абсолютная величина числа
- •Упражнения
- •Глава 2. Предел последовательности
- •2.1. Числовые последовательности Числовые последовательности и операции над ними
- •Понятие сходящейся последовательности
- •Основные свойства сходящихся последовательностей
- •Число е
- •2.2 Применение в экономике
- •Упражнения
- •Глава 3. Функции одной переменной
- •3.1. Понятие функции Определение функциональной зависимости
- •Способы задания функций
- •Область определения функции
- •Приложения в экономике
- •3.2. Предел функции Предел функции в точке
- •Левый и правый пределы функции
- •Предел функции при х , X -, х
- •3.3. Теоремы о пределах функций
- •3.4. Два замечательных предела
- •3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции
- •3.7. Непрерывность элементарных функций Непрерывность элементарных функций в точке
- •Непрерывность функции на интервале и отрезке
- •Классификация точек разрыва функции
- •3.8. Понятие сложной функции
- •3.9. Элементы аналитической геометрии на плоскости Уравнение линии на плоскости
- •Линии первого порядка
- •Линии второго порядка
- •Упражнения
- •Глава 4. Основы дифференциального исчисления
- •4.1. Понятие производной Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Физический смысл производной
- •Правая и левая производные
- •Уравнение касательной к графику функции в данной точке
- •4.2. Понятие дифференциала функции Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного
- •4.4. Таблица производных простейших элементарных функций
- •4.5. Дифференцирование сложной функции
- •4.6. Понятие производнойn-го порядка
- •Упражнения
- •Глава 5. Применение производных в исследовании функций
- •5.L.Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя
- •Неопределенности вида
- •Другие виды неопределенностей
- •5.2. Формула Маклорена Разложение функций по формуле Маклорена
- •Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций
- •5.3. Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции
- •Точки локального экстремума
- •Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •5.4. Применение в экономике Предельные показатели в микроэкономике
- •Максимизация прибыли
- •Закон убывающей эффективности производства
- •Упражнения
- •Глава 6.Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции
- •Неопределенный интеграл
- •6.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6.3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •6.4. Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Рациональная функция от sin х и cos х
- •Рациональная функция от еx
- •Классы интегрируемых функций
- •7.2. Основные свойства определенного интеграла
- •7.3. Основная формула интегрального исчисления
- •7.4. Основные правила интегрирования Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •7.5. Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •Объем тела вращения
- •7.6. Некоторые приложения в экономике
- •Дневная выработка
- •Выпуск оборудования при постоянном темпе роста
- •7.7. Несобственные интегралы
- •Упражнения
- •Глава 8. Функции нескольких переменных
- •8.1. Евклидово пространствоEm Евклидова плоскость и евклидово пространство
- •Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства
- •8.2. Множества точек евклидова пространстваЕm Примеры множеств евклидова пространства Еm
- •Понятие функции нескольких переменных
- •Некоторые виды функций нескольких переменных
- •Линии уровня
- •8.3. Частные производные функции нескольких переменных Частные производные первого порядка
- •Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума
- •Достаточные условия существования локального экстремума
- •8.5. Применение в задачах экономики Экстремум функции нескольких переменных
- •Прибыль от производства разных видов товара
- •Оптимальное распределение ресурсов
- •Максимизация прибыли производства продукции
- •Метод наименьших квадратов
- •Упражнения
- •Часть 2. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.1. Основные понятия Базовые определения
- •Геометрический смысл уравнения первого порядка
- •9.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •9.3. Неполные уравнения
- •9.4. Линейные уравнения первого порядка
- •Упражнения
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •10.1. Основные понятия теории
- •10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные уравнения второго порядка
- •10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка
- •Упражнения
- •Глава 11. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике
- •11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Модель естественного роста выпуска
- •Рост выпуска в условиях конкуренции
- •Динамическая модель Кейнса
- •Неоклассическая модель роста
- •11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
- •Упражнения
- •Часть 3. Элементы линейной алгебры Глава 12.Векторы
- •12.1. Векторное пространство
- •Понятие и основные свойства вектора
- •Операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов
- •12.2. Линейная зависимость векторов Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •Базис и ранг системы векторов
- •12.3. Разложение вектора по базису Представление вектора в произвольном базисе
- •Разложение вектора в ортогональном базисе
- •Упражнения
- •Глава 13.Матрицы
- •13.1. Матрицы и операции над ними Понятие матрицы
- •Линейные операции над матрицами
- •Транспонирование матриц
- •Умножение матриц
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •13.2. Обратная матрица Ранг матрицы
- •Понятие обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 14.Определители
- •14.1. Операции над определителями и основные свойства Понятие определителя
- •Основные свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •14.2. Ранг матрицы и системы векторов
- •Упражнения
- •Глава 15. Системы линейных алгебраических уравнений
- •15.1. Основные понятия Общий вид и свойства системы уравнений
- •Матричная форма системы уравнений
- •15.2. Методы решения систем линейных уравнений Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •Решение системы общего вида
- •Метод Гаусса
- •15.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
- •15.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
- •15.5. Однородные системы линейных уравнений
- •Решение системы однородных уравнений
- •Фундаментальная система решений
- •Характеристическое уравнение
- •Упражнения
- •Глава 16. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •16.1. Использование алгебры матриц
- •Матричные вычисления
- •Использование систем линейных уравнений
- •16.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Продуктивные модели Леонтьева
- •16.3. Линейная модель торговли
- •Упражнения
- •Часть 4. Элементы теории вероятностей Глава 17. Основные положения теории вероятностей
- •17.1. Основные понятия теории вероятностей Некоторые формулы комбинаторики
- •Виды случайных событий
- •Классическое определение вероятности
- •17.2. Теорема сложения вероятностей Несовместные события
- •Полная группа событий
- •Противоположные события
- •17.3. Теорема умножения вероятностей Произведение событий и условная вероятность
- •Независимые события
- •17.4. Обобщения теорем сложения и умножения Появление только одного из независимых событий
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Формула полной вероятности
- •Формулы Байеса
- •17.5. Схема независимых испытаний Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
- •Упражнения
- •Глава 18. Случайные величины
- •18.1. Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин
- •Дискретные случайные величины
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •18.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Начальные и центральные моменты
- •18.3. Система двух случайных величин Двумерная случайная величина
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Линейная регрессия
- •18.4. Непрерывные случайные величины Функция распределения и ее свойства
- •Плотность распределения вероятностей и ее свойства
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Асимметрия и эксцесс
- •18.6. Некоторые элементы математической статистики Задачи математической статистики
- •Выборки
- •Способы отбора
- •Статистическое распределение выборки
- •Эмпирическая функция распределения
- •Полигон и гистограмма
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Виды дисперсий
- •Эмпирические моменты
- •Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
- •Упражнения
- •Раздел II. Основы оптимального управления
- •Часть 5. Элементы линейного программирования Общая постановка задачи
- •Виды математических моделей
- •Глава 19. Элементы аналитической геометрии Вn-мерном пространстве
- •19.1. Основные понятия и определения
- •19.2. Решение систем mлинейных неравенств с двумя переменными
- •Упражнения
- •Глава 20. Графический метод
- •20.1. Постановка задачи
- •20.2. Алгоритм решения задач
- •20.3. Выбор оптимального варианта выпуска изделий
- •20.4. Экономический анализ задач с использованием графического метода
- •Упражнения
- •Глава 21.Симплексный метод
- •21.1. Общая постановка задачи
- •21.2. Алгоритм симплексного метода
- •21.3. Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
- •21.4. Альтернативный оптимум
- •Упражнения
- •Глава 22. Двойственность в линейном программировании
- •22.1. Виды двойственных задач и составление их математических моделей Симметричные двойственные задачи
- •Несимметричные двойственные задачи
- •Смешанные двойственные задачи
- •22.2. Основные теоремы двойственности
- •22.3. Решение двойственных задач Решение симметричных задач
- •Решение несимметричных задач
- •Решение смешанных двойственных задач
- •22.4. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
- •22.5. Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
- •Упражнения
- •Глава 23.Транспортная задача
- •23.1. Общая постановка задачи
- •23.2. Нахождение исходного опорного решения
- •23.3. Определение эффективного варианта доставки изделий к потребителю
- •23.4. Проверка найденного опорного решения на оптимальность
- •23.5. Переход от одного опорного решения к другому
- •23.6. Альтернативный оптимум в транспортных задачах
- •23.7. Вырожденность в транспортных задачах
- •23.8. Открытая транспортная задача
- •23.9. Определение оптимального варианта перевозки грузов с учетом трансформации спроса и предложений
- •23.10. Экономический анализ транспортных задач
- •23.11. Приложение транспортных моделей к решению некоторых экономических задач
- •23.12. Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
- •Упражнения
- •Глава 24. Целочисленное программирование
- •24.1. Общая формулировка задачи
- •24.2. Графический метод решения задач
- •24.3. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
- •24.4. Метод Гомори
- •Упражнения
- •Глава 25. Параметрическое линейное программирование
- •25.1. Постановка задачи
- •25.2. Линейное программирование с параметром в целевой функции
- •25.3. Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
- •25.4. Транспортная параметрическая задача
- •25.5. Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
- •Упражнения
- •Глава 26.Задача о назначениях
- •26.1. Постановка задачи
- •26.2. Алгоритм решения задачи
- •26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
- •26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
- •Упражнения
- •Глава 27. Задачи с несколькими целевыми функциями
- •27.1. Формулировка задачи
- •27.2. Математическая модель нахождения компромиссного решения
- •27.3. Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
- •Упражнения
- •Часть 6. Элементы оптимального управления Глава 28.Нелинейное программирование
- •28.1. Общая постановка задачи
- •28.2. Графический метод
- •Задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений
- •Задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений
- •Задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений
- •28.3. Дробно-линейное программирование Математическая модель задачи
- •Алгоритм решения
- •Экономическая интерпретация задач дробно-линейного программирования
- •Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий
- •Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
- •28.4. Метод множителей Лагранжа Постановка задачи
- •Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции
- •Упражнения
- •Глава 29.Динамическое программирование
- •29.1. Постановка задачи
- •29.2. Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования Оптимальная стратегия замены оборудования
- •Оптимальное распределение ресурсов
- •Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия
- •Минимизация затрат на строительство и эксплуатацию предприятий
- •Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий
- •Упражнения
- •Глава 30.Сетевые модели
- •30.1. Основные понятия сетевой модели
- •Расчет временных параметров сетевого графика
- •Построение сетевого графика и распределение ресурсов
- •Учет стоимостных факторов при реализации сетевого графика
- •Обоснование привлекательности проекта по выпуску продукции
- •30.2. Минимизация сети
- •Алгоритм решения
- •Нахождение кратчайшего пути
- •Задача замены автомобильного парка
- •Упражнения
- •Часть 7. Принятие решений и элементы планирования Глава 31. Основные понятия теории игр
- •31.1. Графическое решение игр вида (2 xn) и (mx 2)
- •31.2. Решение игр (aij)mxnс помощью линейного программирования
- •31.3. Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
- •31.4. Сведение матричной игры к модели линейного программирования
- •31.5. Игры с "природой"
- •31.6. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
- •31.7. "Дерево" решений
- •Выбор оптимальной стратегии развития предприятия в условиях трансформации рынка
- •Принятие решения о замене оборудования в условиях неопределенности и риска
- •Упражнения
- •Глава 32. Элементы системы массового обслуживания (смо)
- •32.1. Формулировка задачи и характеристики смо
- •32.2. Смо с отказами
- •Формулы для установившегося режима
- •32.4. Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди Основные понятия
- •Формулы для установившегося режима
- •32.5. Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
- •Упражнения
- •Глава 33. Некоторые модели управления запасами
- •33.1. Общая постановка задачи
- •33.2. Основная модель управления запасами
- •33.3. Модель производственных запасов
- •33.4. Модель запасов, включающая штрафы
- •33.5. Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
- •Упражнения
- •Часть 8. Практикум
- •2. Задачи на случайные величины
- •П6. Задания по теме "Линейное программирование"
- •П7. Задания по теме "Нелинейное программирование"
- •П8. Задания по теме "Динамическое программирование"
- •П9. Задания по теме "Сетевые модели"
- •П10. Задания по теме "Теория игр"
- •П11. Задания по теме "Система массового обслуживания"
- •Ответы к упражнениям
- •Содержание
- •Глава 24. Целочисленное программирование 270
17.2. Теорема сложения вероятностей Несовместные события
Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно.
Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.
Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий.
ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.
Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (17.3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна
Полная группа событий
ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:
Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.
Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.
Противоположные события
Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.
Если событие
обозначено через А,
то противоположное ему событие
обозначается через
.
Из теоремы 17.2 следует, что
Например, если при
стрельбе по мишени попадание — это
событие А,
то событие
— это промах; сумма их вероятностей
равна единице — при выстреле обязательно
будет либо попадание, либо промах.
То же самое и при подбрасывании монеты:
обязательно выпадет либо орел, либо
решка.
Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.
Решение.
События "среди взятых телевизоров
нет ни одного неисправного" и "есть
хотя бы один неисправный" —
противоположные. Первое из них
обозначим через А,
а второе — через
.
Общее число способов, которыми можно
взять 3 изделия из десяти, равно
C
.
Число исправных телевизоров равно 8,
число способов выборки из них трех
изделий равно
C
,
так что вероятность Р(А)
= C
/С
.
Искомая вероятность определяется
из формулы (17.4):
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]