Характеристическое уравнение

В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор квадратной матрицы А порядка n. Тогда имеет место матричное уравнение

или

где λ — собственное значение матрицы А, а E и — соответ­ственно единичная матрица и нулевой вектор-столбец. Урав­нение (15.17) эквивалентно системе однородных уравнений

В уравнениях (15.18) a_ij — элементы матрицы А, x_j — коорди­наты собственного вектора х. Поскольку собственный вектор не является нулевым, то однородная система (15.18) должна иметь ненулевое решение, т.е. в силу следствия 2 (см. выше) определитель этой системы равен нулю:

Определитель системы однородных уравнений (15.18) называ­ется характеристическим многочленом, а уравнение (15.19) — характеристическим уравнением матрицы А.

Уравнение (15.19) имеет степень n относительно неизвест­ной λ. Его корни являются собственными числами матрицы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однород­ной системы (15.18).

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для этой матри­цы имеет вид

откуда, раскрывая определитель, получаем

Корни этого уравнения суть λ₁ = 2, λ₂ = 5. Для нахождения собственных векторов подставим найденные собственные зна­чения в систему однородных уравнений (15.18) при n = 2 с со­ответствующими элементами заданной матрицы А. Собствен­ный вектор, соответствующий собственному значению λ₁ = 2, является решением системы

Пo сути дела, это одно уравнение, поскольку определитель сис­темы равен нулю. Полагая x₂ = b свободной переменной, по­лучаем первый собственный вектор ₁ = (—2b, b) = b (-2, 1). Подстановка второго собственного значения λ₂ = 5 приводит к системе уравнений

которая через свободную переменную x₂ = с определяет второй собственный вектор матрицы А: ₂ = (с, с) = с (1, 1).

Поскольку b и с — произвольные числа, то одному соб­ственному значению может соответствовать несколько собст­венных векторов разной длины. Например, собственные векто­ры, соответствующие фундаментальным решениям однород­ных систем (в данном случае их будет по одному на каждое собственное значение), имеют вид ₁ = (-2, 1), ₂ = (1, 1).

Упражнения

Решить методом Крамера системы линейных уравнений.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решить методом обратной матрицы системы уравнений, пред­варительно вычислив методом Гаусса обратную матрицу.

Найти фундаментальные системы решений однородных сис­тем.

Найти собственные векторы и собственные значения матриц.

Глава 16. Применение элементов линейной алгебры в экономике

16.1. Использование алгебры матриц

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и ис­пользовании баз данных: при работе с ними почти вся инфор­мация хранится и обрабатывается в матричной форме.