Упражнения

14.1. Вычислить определители:

14.2. Дана матрица

Найти миноры элементов a₂₃, a₁₄, a₃₄ и алгебраические допол­нения элементов a₃₂, a₄₃, a₂₄.

14.3. Найти ранги следующих матриц:

14.4. Определить, являются ли зависимыми векторы ₁, ₂, ₃: a) ₁ = (2, -1, 3), ₂ = (1, 4, -1), ₃ = (0, -9, 5); б) ₁ = (1, 2, 0), ₂ = (3, -1, 1), ₃ = (0, 1, 1).

14.5. Показать, что векторы ₁ = (1, -1, 3), ₂ = (3, -1, 1) и ₃ = (0, 1, 1) образуют базис.

Глава 15. Системы линейных алгебраических уравнений

Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических урав­нений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

15.1. Основные понятия Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x₁, x₂, ..., x_п имеет вид

Здесь a_ij и b_i — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффици­ентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных озна­чает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру не­известного x_i.

Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x₁ = α₁, x₂ = α₂, … , x_n = α_n, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (15.1) называются эквивалент­ными, если они имеют одно и то же множество решений. Эле­ментарные преобразования исходной системы приводят к эк­вивалентной системе. К элементарным преобразованиям отно­сятся:

• вычеркивание уравнения 0x₁ + 0x₂ + ... + 0х_n = 0 — нулевой строки;

• перестановка уравнений или слагаемых a_ijx_j в уравне­ниях;

• прибавление к обеим частям одного уравнения соответ­ственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

• удаление уравнений, являющихся линейными комбина­циями других уравнений системы.

Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбина­цию других уравнений, то из него можно сформировать нуле­вую строку.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу

Эта матрица состоит из m строк и п столбцов и называет­ся матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных чле­нов В:

Х и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее тракто­вать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и m строк и одного столбца.

Тогда систему линейных уравнений (15.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х n, а размер Х — n х 1 и, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столб­цом размером т х 1, состоящей из левых частей уравнений сис­темы (15.1). Все уравнения этой системы вытекают из уравне­ния (15.3) в силу определения равенства двух матриц (п. 13.1).

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним мат­рицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размером т х (n + 1):

Матрица А_В называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.

ТЕОРЕМА 1 (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу рас­ширенной матрицы системы.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.