Упражнения

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

13.2. Даны следующие матрицы:

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С², г) матрицу С³.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредствен­ным вычислением, какие из данных ниже векторов являют­ся собственными векторами этой матрицы, и указать соответ­ствующие собственные значения:

Глава 14.Определители

14.1. Операции над определителями и основные свойства Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего поряд­ков.

Пусть дана матрица

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по фор­муле

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали вычитает­ся произведение элементов на второй диагонали матрицы А. Нетрудно видеть, что формула (14.1) представляет собой ал­гебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А, стоящих в разных строках и разных столбцах.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для кото­рой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Правило вычисления определителя третьего порядка следу­ющее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведе­ний элементов, стоящих в разных строках и разных столб­цах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители кото­рых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со зна­ком минус — произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основани­ями, параллельными этой диагонали (рис. 14). Заметим, что каждое слагаемое в формуле (14.2) содержит по одному эле­менту из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы.

Рассмотрим определитель n-го порядка

Теперь с учетом подмеченных выше закономерностей перейдем к определению для общего случая.

Определение 1. Определителем матрицы А n-го порядка на­зывается алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение вхо­дит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Основные свойства определителей

Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нуле­вой строки (нулевого столбца).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Δ_n = -Δ_n откуда и следует, что Δ_n = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно выне­сти за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) опре­делителя Δ_n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все строки (столбцы), за исключением указан­ной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя Δ_n; б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель — вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя Δ_n.

Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка:

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы дру­гой строки (столбца), умноженные на любое число.

Это свойство является следствием свойств 3-5.

7. При транспонировании матрицы определитель не меня­ется.

Из перечисленных свойств следует, что определитель ра­вен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное усло­вие равенства нулю определителя. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.