Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включаю­щую в себя основные компоненты динамики расходной и до­ходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) — со­ответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматривают­ся как функции времени t. Тогда справедливы следующие со­отношения:

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) — автономное (конечное) потребление, k(t) — норма аксе­лерации. Все функции, входящие в уравнения (11.9), положи­тельны.

Поясним смысл уравнений (11.9). Сумма всех расходов дол­жна быть равной национальному доходу — этот баланс отра­жен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внут­реннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составля­ющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвес­тиций не может быть произвольным: он определяется произве­дением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) зада­ны — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику на­ционального дохода, или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приве­дения подобных получаем дифференциальное неоднородное ли­нейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

Согласно п. 9.4, существует достаточно сложная формула об­щего решения этого уравнения. Мы проанализируем более про­стой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k по­стоянными числами. Тогда уравнение (11.10) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения со­ответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (11.11) возьмем так называемое равновес­ное решение, когда Y’ = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее ре­шение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (11.11) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (11.11) показаны на рис. 11.3. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p , то С = Y₀ — Y_p < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (11.12), т.е. национальный доход со временем пада­ет при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (11.13) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р.

Согласно классификации п. 9.3, уравнение (11.11) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустой­чивого равновесия.

Неоклассическая модель роста

Пусть Y = F (K, L) — национальный доход, где F — одно­родная производственная функция первого порядка (F (tK, tL) = tF (K, L)), К — объем капиталовложений (про­изводственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k = K/L, тогда производительность труда выражается формулой

Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базирует­ся на определенных предпосылках, нам нужно сделать некото­рые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.

1. Имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов:

2. Инвестиции расходуются на увеличение производствен­ных фондов и на амортизацию, т.е.

где β — норма амортизации.

Тогда если l — норма инвестиций, то I = lY = К' + βК, или

Из определения фондовооруженности k вытекает, что

Дифференцируя это равенство по t, имеем

Подставив в это соотношение выражения (11.15) и (11.16), по­лучаем уравнение относительно неизвестной функции k

где функция f(k) определена по формуле (11.14).

Полученное соотношение (11.17) представляет собой нели­нейное дифференциальное уравнение первого порядка с раз­деляющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия k' = 0 следует, что

т.е. k = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции F(K, L) = найти интегральные кривые урав­нения (11.17) и стационарное решение. Из (11.14) следует, что f(k) =, и тогда уравнение (11.17) имеет вид

Стационарное решение этого уравнения следует из равенства

откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (11.17): k_st = I²/(α + β)².

Рис. 11.4

Дифференциальное уравнение (11.17) решаем методом раз­деления переменных:

Интегрируя это уравнение с заменой переменной = z, по­лучаем его общее решение в окончательном виде:

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 11.4): т.е. k k_st при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачиl, α и β функция фондовооруженности в данном случае устой­чиво стремится к стационарному значению независимо от на­чальных условий. Такая стационарная точка k = k_st является точкой устойчивого равновесия.