Упражнения

Найти области определения функций.

Построить линии уровня функций.

Найти частные производные от функций.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.29. Доказать, что для функций, указанных в задачах 8.23 и 8.24, модуль градиента равен единице во всей области опреде­ления.

Найти частные производные второго порядка.

Найти экстремумы функций.

8.43. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, если его полная поверхность равна 6π.

8.44. Цены на два вида товаров равны соответственно Р₁ = 32 и P₂ = 24 денежным единицам. Определить, при каких коли­чествах х и у продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет вид С = х² + 2ху + у².

8.45. В результате эксперимента для пяти значений аргумента x получены пять значений величины и:

Методом наименьших квадратов найти функциональную зави­симость между х и и в виде линейной функции и = ах + b.

Часть 2. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения занимают особое место в ма­тематике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построе­нию математических моделей, основой которых являются диф­ференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция со­держится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функ­ций, представляющих собой решения этих уравнений.

В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции за­висят от одной переменной. Теория дифференциальных урав­нений, когда неизвестные функции зависят от нескольких пере­менных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

9.1. Основные понятия Базовые определения

Определение 1. Уравнение вида

где х — независимая переменная, у и у' — соответственно не­известная функция и ее производная, называется дифференци­альным уравнением первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид

Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, раз­решенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого ви­да. Примеры уравнений, разрешенных относительно производ­ной:

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.

Пример 1. (y')² = x² + у², откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ±.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в урав­нение обращает его в тождество.

Например, функция у = х² тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2х² = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'_y(x,y) непре­рывны в некоторой области D плоскости Оху, то в неко­торой окрестности любой внутренней точки (x₀, у₀) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у₀ при х = x₀.

График решения дифференциального уравнения называет­ся интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутрен­нюю точку области D проходит только одна интегральная кри­вая. Условия, которые задают значение функции у₀ в фиксиро­ванной точке x₀, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворя­ющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множес­тва интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x₀, y₀) области D.

В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполне­ны, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной ин­тегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называет­ся функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.

Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в облас­ти D называется функция у = φ(х,С₀), полученная при опре­деленном значении постоянной С = С₀.

Общее решение у = φ(x, С) описывает семейство интег­ральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фик­сируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интег­ральную кривую у = φ(x,C₀), проходящую через заданную точку (x₀, y₀).

Например, рассмотрим уравнение у' = 2х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f(x, у) = 2х и f'_y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскостиОху). Нетруд­но видеть, что общим решением уравнения является функция у = х² + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у₀ — x₀², откуда находим частное решение у = х² + у₀ – х₀². Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х₀, у₀).