Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции ,,в некоторой точке M₀ через а₁₁, a₁₂, a₂₂ соответственно. Тогда достаточное усло­вие локального экстремума формулируется следующим обра­зом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М₀(х₀, у₀) возможного экстре­мума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М₀ локальный экстре­мум: минимум при а₁₁ < 0 и максимум при а₁₁ > 0. Если же а₁₁а₂₂ — a₁₂² ≤ 0, то данная функция не имеет локального эк­стремума в точке M₀.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х³ — у³ — 3ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

откуда получаем Δ = а₁₁a₂₂ — а₁₂² = -36xу — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т.е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а₁₁ < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: u_max = f(-1, 1) = 1.

8.5. Применение в задачах экономики Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.

Прибыль от производства разных видов товара

Пусть x₁, x₂, …, x_т. — количества производимых т разно­видностей товара, а их цены — соответственно P₁, P₂, …, P_m (все P_i — постоянные величины). Пусть затраты на производ­ство этих товаров задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локально­го экстремума функции многих переменных (8.11) при x_i ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений от­носительно переменных х_i

Система уравнений (8.12) реализует известное правило эконо­мики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой сис­темы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения реше­ния системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издер­жек и может быть достаточно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производятся два ви­да товаров, обозначим их количества через x и у. Пусть P₁ = 8 и Р₂ = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х² + ху + у² — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при x₁ = х, x₂ = y прибыль является функцией двух перемен­ных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

решением которой является точка (2,4). Поскольку

то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен П_mах = 28.