Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух и более переменных также представляют собой функции не­скольких переменных, и их можно также продифференциро­вать, т.е. найти частные производные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида z = f(x, у) возможны че­тыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные, в которых дифференцирование произво­дится по разным переменным, называются смешанными произ­водными. Аналогичным образом для функций нескольких пе­ременных определяются частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производ­ных второго порядка для функции двух переменных.

Решение. Последовательно дифференцируя, получаем

Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем

В рассмотренных примерах смешанные производные оказа­лись равными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция z = f(x, у) дважды дифферен­цируема в точке М₀(x­₀, y₀), тo ее смешанные производные в этой точке равны.

8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М₀ (x₀, у₀) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М₀ локаль­ный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M₀) (f(М) ≥ f(М₀)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М₀) удовлетворяет одному из условий в окрест­ности точки M₀:

Δz ≤ 0, если M₀ — точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M₀ — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования ло­кального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M₀ (x₀, y₀) локальный экстремум и частные производные пер­вого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходи­мое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M₀.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х² — у² частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением ги­перболического параболоида) не имеет экстремума: f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точ­ками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем = 0 и= 0, откуда получаем систему двух алгебраических урав­нений с двумя неизвестными

Решение этой системы х = 1, у = 2, т.е. точка с координа­тами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Решение. По условию (8.10) все три первые частные про­изводные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя не­известными

Решение этой системы дает единственную стационарную точ­ку возможного экстремума: (3, -4, 2).