Глава 8. Функции нескольких переменных

8.1. Евклидово пространствоEm Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещест­венных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).

Определение 1. Координатная плоскость называется евкли­довой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точ­ками M₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) определено по формуле

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатного пространства ха­рактеризуется тройкой чисел и тогда расстояние между дву­мя любыми точками пространства M(x₁, y₁ ,z₁) и М(x₂, y₂, z₂) определяется формулой

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространст­во определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных со­вокупностей т действительных чисел (x₁, х₂, x₃, ..., x_m) назы­вается т-мерным координатным пространством А^m.

Каждую упорядоченную совокупность (x₁, x₂, x₃,, … ,x_т,) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа x₁, x₂, x₃, …, x_m называются коорди­натами точки М, что символически записывается следующим образом: М(x₁, x₂, ..., x_m).

Определение 3. Координатное пространство А^m называется т-мерным евклидовым пространством Е^m, если между двумя любыми точками М'(х₁', х₂, '... , х_m') и М"(x₁'', х₂'',... , х_m'') про­странства А^m определено расстояние ρ(М', М") по формуле

Очевидно, что введенные понятия m-мерного координат­ного пространства А^m и m-мерного евклидова пространства E^m являются обобщениями понятий соответственно коорди­натных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.

8.2. Множества точек евклидова пространстваЕm Примеры множеств евклидова пространства Еm

Будем обозначать символом {М} некоторое множество то­чек m-мерного пространства Е^m. Рассмотрим некоторые при­меры множеств в этом пространстве.

1. Множество {М} всевозможных точек, координаты x₁, x₂, ..., x_m которых удовлетворяют неравенству

называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке M₀(x,x,...,x).

Этот пример является m-мерным обобщением соответ­ственно круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве, которые задаются следующими не­равенствами:

Неравенство (8.2) можно переписать с учетом (8.1) в виде

В случае строгого неравенства ρ(М, М₀) < R множество {М} называется открытым т-мерным шаром. Часто это мно­жество также называют R-окрестностью точки M₀. В случае (8.3) если неравенство не строгое, множество {М} называет­ся замкнутым т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т ≥ 2.

2. Множество {М} точек, таких, что расстояние от каж­дой из них до некоторой точки M₀ удовлетворяет равенству ρ(М, М₀) = R, называется т-мерной сферой радиуса R с цент­ром в точке M₀.

Аналогия: для плоскости — окружность (x – x₀)² + (у – y₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀), для пространства — сфера (x – x₀)² + (у – y₀)² + (z – z₀)² = R² радиуса R с центром в точке М₀(х₀, у₀, z₀).