7.6. Некоторые приложения в экономике

Вообще говоря, в экономических задачах переменные меня­ются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, пред­полагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмот­рим соответствующие примеры.

Дневная выработка

Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжи­тельностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t — время в часах, р₀ — размерность производительности (объем продукции в час), t₀ — размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы (рис. 7.7): производительность сначала растет, достигая максимума в се­редине рабочего дня при t = 4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в те­чение дня непрерывно, т.е. р является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку Р можно вы­разить определенным интегралом:

где а₀ — множитель, имеющий размерность единицы продук­ции. Если бы в течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью р_тах = 6,2р₀, то днев­ная выработка составила бы Р_mах = 49,6а₀, или примерно на 21% больше. Рис. 7.7 иллюстрирует решение задачи: дневная выработка численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой f(t); вторая кривая показывает рост выпуска продукции во времени (график первообразной F(t) соответствует правой оси ординат Р). Значение Т = 4 ч соответствует точке перегиба кривой F(t): в первой половине рабочего дня интенсивность выработки продукции выше, чем во второй. Штрихпунктирная прямая Р = р_mахt соответствует выпуску продукции с равномерной производительностью р_mах.

Выпуск оборудования при постоянном темпе роста

Производство оборудования некоторого вида характеризу­ется темпом роста его выпуска

где Δу — прирост выпуска этого оборудования за промежу­ток времени Δt, а у — уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найти общее количество обо­рудования, произведенного к моменту времени t, полагая, что К — известная постоянная величина, единицей времени явля­ется год, а в начальный момент времени t = 0 уровень ежегод­ного производства оборудования составлял у₀.

Решение. Перейдем к пределу при Δt → 0, полагая, что он существует. Будем также полагать, что у является непре­рывной функцией от времени t. Согласно определению произ­водной функции

Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t, получаем

Суммарное количество оборудования, выпущенного за проме­жуток времени t, дается определенным интегралом

Например, при К = 0,05 (5% ежегодного темпа роста) об­щее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, соста­вит

причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65%.