Классы интегрируемых функций

Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегри­руемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), да­ют следующие теоремы, которые мы приводим без доказа­тельства.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) ин­тегрируема на этом отрезке.

7.2. Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на дру­гие случаи.

По определению полагаем

как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

поскольку при движении от b к а все длины частичных отрез­ков Δx_i = x_i-1 — x_i имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство

3. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде­ленного интеграла:

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функ­ций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что а < b.

5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то

6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то

7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то

8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то

7.3. Основная формула интегрального исчисления

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первооб­разных является функция

В формуле (7.8) переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.

Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

где С — произвольная постоянная.

Согласно теореме 7.4 непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой

где С — некоторая постоянная. Подставляя в (7.9) х = а, с учетом свойства 1 определенного интеграла получаем

Тогда из (7.9) имеем

Полагая х = b, получаем формулу

Равенство (7.10) называется основной формулой интег­рального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b) — F(a) условно записывают символом F(x), т.е.

Формула (7.11) дает широкие возможности вычисления оп­ределенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный ин­теграл и затем найти разность значений первообразной соглас­но (7.11). Рассмотрим примеры вычисления определенных ин­тегралов.

7.4. Основные правила интегрирования Замена переменной в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на от­резке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к преж­ней переменной, как это делалось при вычислении неопределен­ного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подста­новке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтеграль­ной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х². Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоре­мы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t = при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t²). Подстановка в исходный интеграл дает

Полученное противоречие объясняется тем, что функция за­мены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.