Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).

Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказатель­ства.

ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 3. Точка М(x₀, f(x₀)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пре­делах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на дру­гую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).

ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)) и функция f(x) имеет в точке x₀ непре­рывную вторую производную. Тогда

Отметим, что не всегда условие f"(x₀) = 0 означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x²ⁿ (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием пере­гиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необхо­димо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.

ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x₀ вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x₀. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x₀, f(x₀)).

Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в не­которой окрестности точки x₀ за исключением самой точки x₀ и существует касательная к графику функции в точке М. На­пример, функция f(x) = x^1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале коорди­нат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x^5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рас­смотрим примеры: найти точки перегиба и направления вы­пуклости графиков следующих функций.

Пример 3. f(x) = ехр (-x²).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x²), f"(x) = 2 exp (-x²)(2x² — 1). Приравнивая вторую производ­ную к нулю, получаем критические точки х = ±1/. Вви­ду зависимости функции от х² достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следова­тельно, на левой ветви функции точка M₁(-1 / ,e^-1/2) явля­ется точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М₂(1/,е^-1/2) графика функции име­ет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Пример 4. f(x) = ln (х² – 2x + 2).

РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x₁ = 0, x₂ = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M₁ (0, ln 2) графи­ка функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М₂ (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.