Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функ­ции в точке на ее дифференциал:

Абсолютная погрешность от такой замены является, как сле­дует из рис. 4.3, при Δx 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем

Формула (4.6) является основной в приближенных вычисле­ниях.

Пример. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x^0,5 в окрестности точки x₀ = 1. Поскольку, как будет показано далее, производ­ная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = , то, принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)

4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Приведем без доказательства одну из основных теорем диф­ференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

4.4. Таблица производных простейших элементарных функций

Производные всех простейших элементарно функций мо­жно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (x^α)' = αx^α-1; в частности, = -, ()' =.

3. (log_ax)' = log_ae; в частности, (ln x)' = .

4. (а^x)' = a^x ln а; в частности, (е^x)' = е^x.

5. (sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = .

8. (ctg x)' = - .

9. (arcsin х)' = .

10. (arccos x)' = - .

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами диф­ференцирования (теорема 4.2) являются основными формула­ми дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция диф­ференцирования не выводит из класса элементарных функций.

4.5. Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответ­ствующей точке x₀ = φ(t₀). Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t₀ u справедлива следующая фор­мула:

В теореме 4.3 рассмотрена суперпозиция двух функций, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточны­ми переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается тем же. Например, если у = у(х), х = φ(и), и = ψ(t), то производная y'(t) вычисляется по формуле

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

Пример 1. Найти производную функции у = tg (x³).

Решение. Эту функцию можно представить через проме­жуточную переменную и как y = tg u, и = х³. Тогда по фор­муле (4.7) имеем

Пример 2. Найти производную функции у = .

Решение. Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = е^u, и = v², v = tg w, w = 4x. Применяя правило (4.7) дифференцирования сложной функ­ции, последовательно получаем

Пример 3. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гра­фику функции

Решение. Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства получаем, подставляя в него х = 0:

откуда φ = arctg 1 = 45°.