Упражнения

Найти области определения функций, заданных следующими формулами.

3.1. у = 3x - 2. 3.2. у = х² – 5x + 6. 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. .

3.15. f(x) = x² + x – 2, найти f(0), f(1), f(-3). 3.16. f(x) = arccos (lg x), найти f(1/10), f(1), f(10). 3.17. .

3.18. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке опи­сываются линейными зависимостями вида

1) Определить равновесную цену; 2) установить графичес­ким способом, является ли модель паутинного рынка "скручи­вающейся". Варианты задания параметров зависимостей спро­са и предложения:

а) а = 19, b = 2, с = 3, d = 2; б) а = 15, b = 3, с = 1, d = 4; в) а = 11, b = 3, с = 3, d = 1; г) а = 23, b = 3, с = 5, d = 6.

Найти пределы.

3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. . 3.26. . 3.27. . 3.28. . 3.29. . 3.30. . 3.31. . 3.32. . 3.33. .

Найти точки разрыва функций и определить типы разрывов.

3.34. . 3.35. . 3.36. . 3.37. . 3.38. . 3.39. . 3.40. .

Глава 4. Основы дифференциального исчисления

4.1. Понятие производной Определение производной

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x₀ Х произволь­ное приращение Δx так, чтобы точка x₀ + Δx также принад­лежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f(x₀ + Δx) — f(x₀).

Определение 1. Производной функции f(x) в точке x₀ назы­вается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел сущест­вует).

Для обозначения производной функции употребимы симво­лы у' (x₀) или f'(x₀):

Если в некоторой точке x₀ предел (4.1) бесконечен:

то говорят, что в точке x₀ функция f(x) имеет бесконечную производную.

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке мно­жества X, то производная f'(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, ког­да точка N стремится к точке М по кривой f(x).

Пусть точка М на кривой f(x) соответствует значению ар­гумента x₀, а точка N — значению аргумента x₀ + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x₀ необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx. Из треугольника MNA следует, что

Если производная функции f(x) в точке x₀ существует, то, согласно (4.1), получаем

Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f'(x₀) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной к графику функции у = f(x) в точке М(x₀, f(x₀)). При этом угол наклона касательной определяется из формулы (4.2):