3.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при х ,х ±,х а+ и х а—.

ТЕОРЕМА 6. Алгебраическая сумма и произведение конечно­го числа бесконечно малых функций в точке а, как и произве­дение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {х_n} значений аргумента соответствующая последовательность {f(x_n)} зна­чений функции является бесконечно большой.

В этом случае пишут f(x) = (f(x) = +или f(x) = -) и говорят, что функция имеет в точкеа бесконечный предел (+или -). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконеч­ные пределы:

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x, x+, x-.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функ­циями существует та же связь, что и между соответствующи­ми последовательностями, т.е. если α(х) — бесконечно малая функция при х а, то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция, и наоборот.

3.6. Понятие непрерывности функции

Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Так как x = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной спра­ва (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа (слева):

Если функция f(x) непрерывна в точке а слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точки, в которых функция не является непрерывной, назы­ваются точками разрыва функции.

Рассмотрим пример точек, в которых функция не является непрерывной.

Пример 1. Функция f(x) = sign x (п. 3.1). Как было показано ранее, в точке х = 0 существуют левый и правый пределы этой функции, равные соответственно —1 и +1. Сама же точка х = 0 является точкой разрыва функции, поскольку пределы слева и справа не равны значению f(0) = 0.

Действия над непрерывными в точке функциями определя­ет следующая фундаментальная теорема.

ТЕОРЕМА 7. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в точке а (частное при условии g(a) ≠ 0).

3.7. Непрерывность элементарных функций Непрерывность элементарных функций в точке

Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в лю­бой точке числовой прямой. Действительно, f(x) = С = f(а), что соответствует определению непрерывности функ­ции в точке.

Функция f(x) = х непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в точке а равен ее значению в этой точке: f(x) = а = f(a).

Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции x² = x ∙ x, x³ = x² ∙ х,..., xⁿ = x^n-1 ∙ x (n — натуральное число) непрерывны.

Алгебраический многочлен

также является непрерывной функцией в любой точке число­вой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

Дробно-рациональная функция

где Р(x) и Q(x) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключени­ем корней знаменателя.

Тригонометрические функции sin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой.

Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + nπ; аналогично непре­рывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспе­чена во всех точках x ≠ пπ (n = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точ­ке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного чис­ла арифметических операций, являются также непрерывными.