Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий

Требуется проложить путь (трубопровод, шоссе) между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы суммарные за­траты на его сооружение были минимальные.

Решение. Разделим расстояние между пунктами А и В на шаги (отрезки). На каждом шаге можем двигаться либо строго на восток (по оси X), либо строго на север (по оси Y). Тогда путь от А в В представляет ступенчатую ломаную линию, от­резки которой параллельны одной из координатных осей. За­траты на сооружение каждого из отрезков известны (рис. 29.2) в млн р.

Разделим расстояние от А до В в восточном направлении на 4 части, в северном – на 3 части. Путь можно рассматри­вать как управляемую систему, перемещающуюся под влияни­ем управления из начального состояния А в конечное В. Со­стояние этой системы перед началом каждого шага будет характеризоваться двумя целочисленными координатами х и у. Для каждого из состояний системы (узловой точки) найдем условное оптимальное управление. Оно выбирается так, что­бы стоимость всех оставшихся шагов до конца процесса была минимальна. Процедуру условной оптимизации проводим в об­ратном направлении, т.е. от точки В к точке А.

Найдем условную оптимизацию последнего шага (рис. 29.3).

В точку В можно попасть из B₁ или В₂. В узлах запишем стоимость пути. Стрелкой покажем минимальный путь.

Рассмотрим предпоследний шаг (рис. 29.4).

Для точки В₃ условное управление — по оси X, а для точки B₅ — по оси Y. Управление для точки В₄ выбираем как

т.е. по оси Y.

Условную оптимизацию проводим для всех остальных уз­ловых точек (рис. 29.5).

Получим

где с — север, в —восток.

Минимальные затраты составляют

Если решать задачу исходя из оптимальности на каждом этапе, то решение будет следующим:

Затраты составят 10 +12 + 11 + 10 + 9 + 13 +10 = 75 > 71.

Ответ. Прокладывать путь целесообразно по схеме: с, с, в, с, в, в, в, при этом затраты будут минимальные и составят 71 млн р.

Упражнения

29.1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производитель­ности этого оборудования от времени его работы, а также за­траты на содержание и ремонт при различном времени его ис­пользования приведены в табл. 29.5.

Известно, что затраты, связанные с приобретением и уста­новкой нового оборудования, идентичного установленному, со­ставляют 40 млн р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий доход за данный период времени мак­симален.

29.2. К началу анализируемого периода на предприятии уста­новлено новое оборудование.

Определить оптимальный цикл замены оборудования при сле­дующих исходных данных:

покупная цена оборудования (Р) составляет 12 ден.ед.;

остаточная стоимость оборудования S(t) = 0;

f_N(t) = r(t) — u(t) — максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стра­тегии, где r(t) — стоимость продукции, выпускаемой за год на единице оборудования возраста t лет, u(t) — ежегодные затра­ты на обслуживание оборудования возраста t лет;

N = 8 лет.

Зависимость f_N(t) от N задана в табл. 29.6.

29.3. Торговая фирма располагает 5 автолавками, которые мо­гут быть направлены в воскресный день в 3 населенных пунк­та. Считается, что товарооборот фирмы зависит лишь от коли­чества и ассортимента направляемых товаров и определяется числом посланных в тот или иной населенный пункт машин.

Среднее значение товарооборота в тыс. р. в каждом из на­селенных пунктов задано в табл. 29.7.

Найти оптимальную стратегию фирмы в распределении авто­лавок по населенным пунктам, максимизирующую общий то­варооборот.

29.4. В табл. 29.8 указан возможный прирост выпуска продук­ции четырьмя плодово-консервными заводами области в млн р. при осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискрет­ностью 50 млн р., причем на один завод можно осуществить только одну инвестицию.

Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продук­ции.

29.5. В трех областях необходимо построить 5 предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции одинаковой мощности.

Разместить предприятия таким образом, чтобы обеспечить ми­нимальные суммарные затраты на их строительство и эксплу­атацию.

Функция расходов g_i(x), характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от коли­чества размещаемых предприятий в i-й области, приведена в табл. 29.9.

29.6. Проложить трубопровод между двумя пунктами А и В так, чтобы суммарные затраты на его изготовление были ми­нимальные. Исходные данные по затратам в млн р. для про­ведения расчетов представлены на рис. 29.6.