3.3. Теоремы о пределах функций

Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) имеют в точке а пределы А и В. Тогда функции f(x) ± g{x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при В ≠ 0) имеют в точке а пределы, равные соответ­ственно А± В, А В и А/В.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а за исключением, быть мо­жет, самой точки а, и функции f(x) и g(х), имеют в этой точке предел, равный А:Кроме того, пусть выполнены неравенства f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Тогда

Заметим, что теоремы 3.2 и 3.3 справедливы и в случае, когда а является , +или -.

Часто встречаются случаи, когда непосредственно приме­нить теорему о пределе частного нельзя. Это так называемые неопределенности вида или. Далее будет рассмотрен метод раскрытия этих неопределенностей, связанный с диф­ференцированием. Однако зачастую решение связано с более простыми методами: разложением числителя и знаменателя на сомножители, делением числителя и знаменателя на степень x и т.д. Рассмотрим это на примерах.

Пример 1. Найти предел .

Решение. Нетрудно видеть, что непосредственная подста­новка предельного значения x = 2 в дробь под знаком предела приводит к неопределенности вида . Разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на сомножители и сокра­тим общий сомножитель, после чего уже подставим предельное значение х = 2:

Пример 2. Найти предел .

Решение. В задачах такого типа следует разделить чис­литель и знаменатель на старшую степень x (в данном случае это просто x) и затем применить теорему 3.2 о переходе к пре­делу в числителе и знаменателе с последующим переходом к пределу слагаемых. Имеем

Пример 3. Найти предел .

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на x³ (это старшая степень x), после чего вос­пользуемся теоремой 3.2:

Поясним также раскрытие неопределенности вида —. Рассмотрим характерный случай.

Пример 4. Найти предел .

Решение. Здесь следует умножить и разделить выраже­ние под знаком предела на сопряженное выражение — в дан­ном случае на (), после чего воспользоваться приемом деления числителя и знаменателя на старшую степеньx, в данном случае — на . Имеем

3.4. Два замечательных предела

В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложени­ях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.

ТЕОРЕМА 4. Предел функции в точке х =0 существу­ет и равен единице, т.е.

Предел (3.7) называется первым замечательным пределом. Этот предел применяется при вычислении ряда других преде­лов. Рассмотрим несколько примеров на применение предела (3.7).

Пример 1. Найти предел функции sin (ax) / bx при х 0.

Решение. Преобразуем данную дробь так, чтобы в знаме­нателе был аргумент синуса; только тогда можно будет при­менить первый замечательный предел, поскольку при х 0 пределомах также является нуль. Получаем

Пример 2. Найти .

Решение. Теорему 3.2 здесь непосредственно применить нельзя, так как при х 0 знаменатель дроби стремится к нулю. Для решения задачи необходимо сначала преобразовать данную дробь, а затем уже выполнить предельный переход:

Пример 3. Найти .

Решение. Как и в первых двух примерах, преобразуем данную дробь, чтобы "подогнать" ее под первый замечательный предел:

ТЕОРЕМА 5 (второй замечательный предел). Предел функции f(x) = при х существует и равен е, т.е.

Число е является одной из фундаментальных величин в ма­тематике. Показательная функция вида е­­^ax называется экспонентой, логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается символом ln. В теории вероятностей и статистике функция является основополагающей.

Второй замечательный предел (3.8) широко применяется для вычисления других пределов. Рассмотрим примеры на его применение.

Пример 4. Найти .

Решение. Применим здесь замену переменной, полаем 1/x = у. Тогда у приx 0, т.е. имеем

Пример 5. Найти .

Решение. Заменим переменную, положив x = 2у. При x (а значит, иу ) последовательно получаем

Пример 6. Найти .

Решение. Сначала преобразуем дробь под знаком предела, а затем уже перейдем к пределу: