27.2. Математическая модель нахождения компромиссного решения

Дана математическая модель экономической задачи, в ко­торой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых требует отыскания максимума, а другой — мини­мума:

при ограничениях:

где L₁, L₂ — значения целевых функций (экономические пока­затели), для упрощения записи опущены обозначения аргумен­та; a_ij, c_j, d_j, b_i — коэффициенты; x_j — переменные.

Решим задачу по каждому показателю в отдельности и найдем оптимальные значения L_1max, L_2min.

Проделав преобразования над целевыми функциями, полу­чим математическую модель нахождения компромиссного ре­шения задачи с двумя целевыми функциями:

при ограничениях:

где W — целевая функция; x_n+1 — наибольшее относительное значение экономических показателей.

Математическая модель будет аналогичной в случае на­хождения компромиссных решений задач, имеющих три целе­вые функции и более.

Рассмотрим нахождение компромиссного решения экономи­ческой задачи, математическая модель которой имеет три це­левые функции.

27.3. Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях

Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых ис­следований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год. Для производства изделий используются материалы А и В, запасы которых на фирме составляют 18 и 15 т соответ­ственно. Для изготовления 1 тыс. изделий норма расхода ма­териала А для изделий 1-го вида составляет 3 т, а для изделий 2-го вида — 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В расходуется: для изделий 1-го вида — 5 т, для изделий 2-го вида — 3 т. Себестоимость изделий 1-го вида — 1 ден. ед., а 2-го вида — 2 ден. ед.

Найти оптимальное решение по производству изделий 1-го и 2-го видов, чтобы прибыль и количество выпускаемых изде­лий были максимальными, себестоимость минимальной.

Решение. Обозначим: x₁ — количество изделий 1-го вида, тыс. ед.; x₂ — количество изделий 2-го вида тыс. ед.

Математическая модель задачи будет иметь вид

при ограничениях:

Решим задачу по каждой целевой функции в отдельности. Получим

Математическая модель задачи нахождения компромиссно­го решения:

при ограничениях:

Решая задачу на ПЭВМ, получим

Таким образом, фирме целесообразно выпускать 1,07 тыс. изделий 1-го вида и 1 тыс. изделий 2-го вида.

Упражнения

Составить математическую модель нахождения компромиссно­го решения и найти его.

27.1. L₁ = x₁ + 2x₂ → max, L₂ = 4x₁ + х₂ → min при ограни­чениях:

27.2. L₁ = 2x₁ + x₂ → max, L₂ = 2x₁ + x₂ → min при ограни­чениях:

27.3. L₁ = x₁ + 3x₂ → max, L₂ = 2x₁ + x₂ → min при ограни­чениях:

27.4. L₁ = 4x₁ + x₂ → max, L₂ = x₁ + 4x₂ → min при ограни­чениях:

27.5. L₁ = x₁ + 3x₂ → max, L₂ = x₁ + x₂ → min при ограниче­ниях:

27.6. L₁ = 5x₁ +4x₂ → max, L₂ = x₂ → max при ограничениях:

27.7. L₁ = x₁ - x₂ → max, L₂ = x₁ + 2x₂ → max, L₃ = 2x₁ + x₂ → min при ограничениях:

Часть 6. Элементы оптимального управления Глава 28.Нелинейное программирование