26.3. Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков

Рассмотрим следующую задачу.

На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обра­ботке деталей. Известна производительность каждого станка при выполнении каждой операции, заданная матрицей

Определить, какую операцию и за каким станком следует за­крепить, чтобы суммарная производительность была макси­мальной при условии, что за каждым станком закреплена толь­ко одна операция.

Решение. Так как в задаче требуется определить max, a алгоритм метода дан для задач на min, умножим матрицу С на (—1). Сложим полученную матрицу, имеющую отрицатель­ные коэффициенты, с положительным числом, например с чис­лом 10. Получим

Минимальные элементы в строчках есть 3, 4, 4, 6, 4. Выч­тем их из соответствующих элементов матрицы, получим

Так как назначение не получено, вычеркиваем строку 2, столбцы 2, 4, 5:

Минимальный элемент равен 1. Вычитаем его из всех не­вычеркнутых элементов и складываем со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий. Получаем

Оптимальное решение, соответствующее последней матри­це, равно

Суммарная производительность: 6 + 6 + 3 + 6 + 7= 28.

Таким образом, на первом станке надо делать 5-ю опера­цию, на втором — 1-ю операцию, на третьем — 4-ю операцию, на четвертом — 3-ю операцию, на пятом станке — 2-ю опе­рацию. Суммарная производительность: 28 деталей в единицу времени.

26.4. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов

При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведен­ную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют ограничения, связанные с нехваткой финансовых ресурсов на его осуществление. В этом случае возникает не­обходимость разработки такого метода отбора одного проекта (или группы проектов), который, с одной стороны, обеспечит максимально возможную чистую приведенную стоимость, а с другой — позволит "уложиться" в выделенные для инвестиций средства.

Например, у предприятия для выполнения некоторых про­грамм имеется пять инвестиционных проектов, чистая приве­денная стоимость которых указана в табл. 26.2. Однако пред­приятие не может финансировать все проекты: суммы денег, выделенные на текущий год и последующие два, меньше не­обходимых для инвестирования в полном объеме. При этом оставшиеся денежные средства не могут быть перенесены на следующие годы, также не предусмотрено более одного финан­сирования одного и того же проекта. Требуется распределить выделенные средства в инвестиционные проекты оптимальным способом.

Решение. Обозначим черех x_j долю вложения в j-й про­ект, где j = . Тогда чистая приведенная стоимость инвес­тиций в 1-й проект составит 40x₁; во 2-й проект — 60x₂ и т.д. При этом необходимо учитывать, что инвестиции не должны превышать 54, 62 и 70 ден. ед. в первый, второй и третий годы соответственно. Требуется выбрать один или группу проектов с наибольшей совокупной чистой приведенной стоимостью.

Математическая модель этой экономической задачи имеет вид

при ограничениях:

причем x_j = 0 или 1, j = (проект либо финансируется, либо нет).

Решая задачу на компьютере, получаем х₁ = х₂ = х₄ = x₅ = 1, x₃ = 0. Иными словами, необходимо производить финансирование 1, 2, 4 и 5-го проектов. При этом потребуются денежные средства в объеме 177 ден. ед. в течение трех лет (при выделяемом предприятием объеме 186 ден. ед.), а сумма чистой приведенной пои мести проектов будет максимальной и составит 205 ден. ед.

Математическая модель может быть составлена для произ­вольного конечного числа программ при предполагаемом фи­нансировании в течение любого количества лет.