1) Сформулируйте определение окрестности точки x R.
Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку;
2) Сформулируйте определение ε-окрестности точки x R. ε-окрестностью точки x (при ε>0) называют интервал (x − ε, x + ε).
3)Сформулируйте определение окрестности +∞.
4)Сформулируйте определение окрестности −∞.
Окрестностями точек −∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (−∞, a) и (a, +∞), где a — произвольное действительное число.
5) Сформулируйте определение окрестности ∞.
Бесконечность ∞ «без знака». Окрестностью такой бесконечности называют объединение двух бесконечных интервалов (−∞, −a) (a, +∞), где a — произвольное действительное число.
6) Сформулируйте определение предела последовательности.
Число a называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного ε существует номер N = N(ε) такой, что для всех номеров n >= N выполняется неравенство | a−Xn | < ε. При этом пишут lim (n→∞) Хn = a.
7) Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Поскольку неравенство | a − Хn | < ε эквивалентно неравенству a − ε < Хn < a + ε, то все элементы сходящейся последовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат в ε-окрестности точки a.
8)Сформулируйте определение ограниченной последовательности. Последовательность {Хn} называется ограниченной снизу, если существует число С1 такое, что Хn >= С1 при всех n = 1, 2, . . . .
Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху, если существует число C2
такое, что Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .
Последовательность {Xn}, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной,
то есть С1 <= Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .
9)Сформулируйте определение монотонной последовательности.
Последовательность 
называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.
10) Сформулируйте определение возрастающей последовательности
Последовательность 
называется монотонно возрастающей, если для любого 
, 
.
11) Сформулируйте определение убывающей последовательности.
Последовательность 
называется монотонно убывающей, если для любого 
, 
.
12)Сформулируйте определение невозрастающей последовательности.
13)Сформулируйте определение неубывающей последовательности.
Последовательность 
является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для
, 
.
14)Сформулируйте определение фундаментальной последовательности. Последовательность {Хn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при любых m >= N и n >= N выполняется неравенство
| Xm − Xn | < ε.
15)Сформулируйте критерий Коши существования предела последовательности.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
16) Сформулируйте определение по Гейне предела функции.
Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности U ̊ ( X0 ) точки X0 . Число a называется пределом функции f(x) при X → X0, если для любой последовательности { Xn } точек из U ̊ ( X0 ), для которой lim(n→∞) Xn = X0 , выполняется равенство lim(n→∞) f(Xn) = a.
17) Сформулируйте определение бесконечно малой функции.
Функция φ(x) называется бесконечно малой при X → X0, если lim(X→X0) φ(x) = 0.
18) Сформулируйте определение бесконечно большой функции.
Функция f(x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки X0, называется бесконечно большой при X → X0, если lim(X→X0) | f(x) | = +∞.
19) Сформулируйте определение бесконечно малых функций одного порядка.
Если существует конечный отличный от нуля предел lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = C, то говорят, что φ(x) и ψ(x) являются при X → X0 бесконечно малыми одного порядка и пишут
φ(x) = O(ψ(x))
20) Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций.
В случае C = 1, т.е. если lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = 1, функции φ(x) и ψ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут φ(x) ψ(x), при X → X0.
21)Сформулируйте определение эквивалентных бесконечно малых функций. Если при X →X0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения (φ(x))/(ψ(x)), то говорят, что φ(x) и ψ(x) не сравнимы при X → X0.
22)Сформулируйте определение порядка малости одной функции относительно другой. Пусть φ(x) и ψ(x) бесконечно малые при X → X0. Если при некотором k бесконечно малые
φ(x) и (ψ(x))^k являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что φ(x) имеет порядок малости k по сравнению с ψ(x) при X → X0.
23)Сформулируйте определение приращения функции.
Приращением функции называют ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).
24) Сформулируйте определение непрерывности функции в точке (любое). Пусть X R, и пусть на X задана числовая функция f(x). Эта функция называется
непрерывной в точке x0 X, если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, | x − x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) − f(x0) | < ε.
25) Сформулируйте определение непрерывности функции на интервале.
Функция 
называется непрерывной в интервале 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
26) Сформулируйте определение непрерывности функции на отрезке.
Функция 
называется непрерывной на отрезке 
, если она является непрерывной в интервале 
, непрерывной справа в точке
, то есть 
и непрерывной слева в точке 
, то есть
27) Сформулируйте определение точки разрыва.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Х0 или в проколотой окрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке Х0, то Х0 называется точкой разрыва функции f(x).
28) Сформулируйте определение точки устранимого разрыва.
Если Х0 — точка разрыва первого рода, и если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то такой разрыв называют устранимым.
29)Сформулируйте определение точки разрыва I-го рода.
Если Х0 — точка разрыва функции f(x), и существуют конечные
пределы lim(Х→Х0−) f(x) = f(Х0 − 0) и lim(Х→Х0+) = f(Х0 + 0), то x0 называется точкой разрыва первого рода.
30)Сформулируйте определение точки разрыва II-го рода.
Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при Х=Х0, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Формулировки теорем 1)Сформулируйте теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательности
Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
2)Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Равенство a = lim(x→x0) f(x) имеет место тогда и только тогда, когда f (x) = a + φ(x), где функция φ(x) бесконечно мала при X→X0.
3)Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций. Пусть функции φ1(x), ..., φn(x) бесконечно малы при x → x0. Тогда их алгебраическая
сумма (от i=1 до n ) ± φi(x) также бесконечно мала при x→x0.
4)Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.
Пусть в проколотой окрестности U ̊(X0) точки X0 заданы функции f(x) и φ(x), причем f(x) ограничена на U ̊(x0), а φ(x) бесконечно мала при X→ X0. Тогда произведение f(x)·φ(x) есть бесконечно малая функция при X → X0.
5)Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
Пусть функция φ(x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки X0. Эта функция бесконечно мала при X → X0 тогда и только тогда, когда функция f(x) = 1/φ(x) является бесконечно большой (при X → X0).
6)Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности
бесконечно малых.
Бесконечно малые φ(x) и ψ(x) эквивалентны (при X → X0) тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости при X → X0 по сравнению с каждой из них.
7)Сформулируйте теорему о сумме бесконечно малых разных порядков.
Пусть φ1(x),…,φn(x), ψ(x) — бесконечно малые при X → X0 функции, и пусть Ki — порядок малости функций φi(x) относительно ψ(x), i = 1, . . . , n, причём числа K1, . . . , Kn попарно различны. Тогда сумма φ1(x) + . . . + φn(x) эквивалентна при X → X0 слагаемому минимального порядка относительно ψ(x).
Определение предела по Коши
1)Сформулируйте определение по Коши lim(x→0) f (x) = b, где b R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
2)Сформулируйте определение по Коши lim(x→a) f (x) = +∞, где a R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
3)Сформулируйте определение по Коши lim(x→∞) f(x) = 0. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
4)Сформулируйте определение по Коши lim(x→a−0) f(x) = −∞, где a R. Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).