metod1_KI_dlya_studentov

Решение. Для вычисления массы составим тройной интеграл, используя формулу (7.1) и вычислим его. Область V является правильной (см. рис. 7.1).

41

OZ была его осью симметрии и основание принадлежало бы плоскости XOY . ( См. рис. 7.3)

В этом случае область, занимаемая цилиндром такова, что

V x, y, z x, y Dxy , 0 z h , где

Dxy x, y x2 y2 R2 .

Рисунок 7.3

Перейдём к цилиндрическим координатам (см. (6.1)), составим тройной интеграл (см. (7.4)) и вычислим его.

42

2. Несобственный двойной интеграл первого рода ( по неограниченной области). Интеграл Пуассона.

Рассмотрим двойной интеграл I f x, y dxdy от непрерывной функции

D

f x, y по неограниченной области

Dxy x, y x , y . По аналогии с интегралом

f x dx такой интеграл называется двойным несобственным интегралом

первого рода. Чтобы вычислить этот интеграл, выберем последовательность областей Dn , таких что D1 D2 ... Dn (см. рис.(7.4)).

Составим последовательность значений интегралов In f x, y dxdy . Если

Dn

существует предел этой числовой последовательности, т.е. существует

lim In , то несобственный интеграл

n

называется сходящимся, а сам предел

называется его значением lim In I .

n

(7.6)

Рисунок 7.4

Пример 7.4. Вычислим несобственный интеграл e x2 y2 dxdy , где

D

D x, y x , y .

Рисунок 7.5

43

Замечание. Полученный результат позволяет вычислить несобственный

интеграл П e x2 dx , для подынтегральной функции которого не

существует первообразной (то есть ему соответствует неберущийся неопределённый интеграл).

Действительно, если преобразовать данный в условии примера двойной

Теперь сравним два полученных результата.

e x2 y2 dxdy П 2.

D

Получаем ответ П e x2 dx .

Этот интеграл П называется интегралом Пуассона.

44