metod1_KI_dlya_studentov

Построенный тетраэдр проецируется в правильную область D , расположенную

вплоскости XOY , и любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D перпендикулярно этой области, пересекает граничные поверхности тетраэдра в двух точках, в одной нижней и одной верхней. Т.е. тетраэдр занимает

впространстве правильную область V .

V x, y, z x, y Dxy , 0 z 1 x y

Рисунок 5. 7

Область D является y -правильной. Для всех её точек 0 x 1,0 y 1 x . Переходя к повторному интегралу, расставляем пределы интегрирования.

Самостоятельно измените порядок интегрирования, спроецировав тетраэдр в другую координатную плоскость.

Пример 5.2 Вычислим объём тела, ограниченного поверхностями:

Область V , занимаемая в пространстве телом T , является правильной и

V x, y, z x, y Dxy , x2 y2 z 4

Для удобства дальнейших рассуждений построим область Dxy на отдельном

рисунке 5.4. Заметим, что область и само тело являются симметричными относительно плоскости YOZ .

Рассматривая область Dxy как x- правильную, с учётом симметрии,

Рисунок 5.4

Ниже приведено подробное вычисление данного интеграла.

32

Занятие 6.

Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические, сферические координаты. Якобиан для цилиндрических и сферических координат. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. 1. Замена переменных в тройном интеграле.

2.Цилиндрическая система координат.

В цилиндрической системе координат положение точки M в пространстве

33

Самостоятельно вычислите Якобиан и убедитесь в том, что при переходе к сферической системе J r2 sin . Следовательно, переходя к сферическим

координатам, имеем:

34

f x, y, z dxdydz f r sin cos ,r sin sin ,rcos r2 sin d d dr (6.5)

V V

Замечание 2. В сферических координатах уравнение сферы x2 y2 z2 R2 принимает вид r R , уравнение кругового конуса k 2 x2 y2 z2

принимает вид arctgk . Поэтому целесообразно переходить к этим координатам, если в условии задачи присутствуют конусы и сферы. Замечание 3. Чтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системе координат в повторный, можно поступить следующим образом. Пересечём тело, занимающее область V , полуплоскостью, проходящей через ось OZ , и выделим площадку D , которая при этом получится. Через ось OZ построим две полуплоскости, которые образуют двухгранный угол , внутри которого заключено тело. Для этого двухгранного угла, а значит, и для области V

В двойном интеграле по области D пределы расставим как в полярной системе координат с той разницей, что переменная меняется от вертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки.

Пример 6.1. Вычислим объём тела, заключённого между двумя

полусферами z 25 x2 y2 и z 9 x2 y2 и двумя коническими

чём легко убедиться,заменив в уравнениях поверхностей

35

подынтегральную функцию равной единице.

V 1 r2 sin d d dr

V

Чтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системе координат в повторный (см. замечание 3), пересечём тело, занимающее область V , полуплоскостью, проходящей через ось OZ , и выделим площадку D , которая при этом получится (на рис. 6.3 эта площадка справа выделена синим). Для того, чтобы получить всё тело, площадку D надо провращать вокруг оси OZ на угол 2 . Тогда

2

V d r2sin d dr

0D

Вдвойном интеграле по области D пределы расставим как в полярной системе координат с той разницей, что переменная меняется от вертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки.

Пример 6.2. Найдём объём тела, заданного системой неравенств

Решение. Построим сферу и параболоид, заданные в условии, и выделим тело, ограниченное ими.

тело, которое в пространстве занимает область V (см. рис. 6.4).

1 способ. Рассмотрим решение задачи в цилиндрической системе координат. Заданное тело заключено внутри цилиндра с образующей, параллельной оси OZ , проходящей через линию пересечения сферы и параболоида. Чтобы составить его уравнение, которое совпадёт с уравнением границы области Dxy (см. рис. 6.4), необходимо из системы уравнений этих поверхностей

исключить переменную z .

Обратите внимание на прямую линию в левой части рисунка 6.4. Мы видим, что при возрастании переменной z сферическая поверхность ограничивает тело снизу, а параболическая – сверху.

Объём тела вычислим как тройной интеграл, где f x, y, z 1 (см. свойства).

Область D ,r | 0 2 ,0 r 1 является радиально правильной.

Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

2 способ. Рассмотрим решение этой же задачи в сферической системе координат.

V dxdydz r2 sin d d dr .

V V

Преобразуем уравнения поверхностей. Уравнение сферы примет вид: r 2cos .

37

Решение. Построим тело, ограниченное данными поверхностями, учитывая то, что оно является телом вращения, поскольку уравнения всех

поверхностей зависят от x2 y2 . Для этого

пересечём поверхности полуплоскостью x 0, y 0 и выделим

область D , ограниченную полученными линиями, а менно, гиперболой y2 z2 4 и параболой y2 4z . (см. рис. 6.5) Найдём

точку

пересечения этих кривых. Она имеет координаты

y 22, z 2.

При вращении этой области вокруг оси OZ получим (рис. 6.6)

38

Занятие 7.