metod1_KI_dlya_studentov

Заметим, что при переходе к полярным координатам область D не меняется.

Область интегрирования в полярной системе координат назовём радиально правильной, если она заключена в секторе между лучами 1 и

2 и ограничена в нём двумя, не пересекающимися во внутренних точках

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат вычисляется по формуле

Замечание. К полярным координатам удобно переходить, когда подынтегральная функция зависит от x2 y2 и в уравнениях границы

области D содержится эта же комбинация.

Пример 2.1 Область D задана неравенствами x2 y2 2x , x2 y2 4x и

y x. Преобразуем двойной интеграл f x, y dxdy в повторный, изменим

D

порядок интегрирования и перейдём к полярным координатам.

Решение. Построим заданную область, ограниченную двумя окружностями и прямой (см. рис. 2.4).

Выразим поочерёдно из уравнений всех частей границы, чему равны переменные y, x . Перейдём к полярной системе и выразим r.

3 : y x, x y, 4

(Обратите внимание на знаки перед корнями!)

Данная область не является y - правильной, т.к. её нижняя граница состоит

из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой x 1так, чтобы в каждой из этих частей было по одной нижней границе (см. рис. 2.4).

11

Рисунок 2.4

Пределы интегрирования в повторном интеграле расставлены.

Поменяем порядок интегрирования. Область D не является x - правильной, т.к. её правая граница состоит из двух частей. Поэтому разобьём её на две части прямой y 1так, чтобы в каждой из этих частей было по одной правой

границе (см. рис. 2.4). Тогда в x - правильной области D3 переменные изменяются так, что 0 y 1, x 2 x x 1 , а в x - правильной области D4

1 y 2, x 2 x x 3 . И теперь

f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy

Далее расставим пределы в повторном интеграле, перейдя к полярным координатам. Область D в полярной системе координат является радиально правильной, т.к. в ней переменные изменяются так, что

12

Выполнены все три варианта расстановки пределов в повторных интегралах.

4.Обобщённые полярные координаты.

При решении некоторых задач удобна следующая замена переменных, которая существенно упрощает вычисление интеграла.

Решение. Построим астроиду (см. рис. 2.5).

Рисунок 2.5

13

α подберём так, чтобы при подстановке в уравнение астроиды получилось уравнение единичной окружности. Для данной задачи такой показатель равен трём.

Якобиан отображения при этом равен

J abr cos 1 sin 1 3abr cos2 sin2 .

Далее, по формуле (2.4) составим интеграл для вычисления искомой площади :

S dxdy J dudv 3ab cos2 sin2 rd dr

(см. рис.2.5). Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

Замечание. После расстановки пределов интегрирования оказалось возможным взять интегралы по dr и d отдельно друг от друга, как их произведение, поскольку пределы внутреннего интегрирования постоянны.

Дополнительный пример 2.3. Вычислим площадь замкнутой области ,

Решим задачу с помощью перехода к новой системе координат. Решение.

14

Замечание 1. Если тело ограничено двумя поверхностями, имеющими уравнения F1 x, y, z 0 и F2 x, y, z 0 , то чтобы составить уравнение

цилиндра, в котором это тело заключено и который проецирует его на плоскость XOY , необходимо из системы этих уравнений исключить переменную z . (См.рис.3.2)

F x, y, z 0

1

F2 x, y, z 0 x, y 0

При этом уравнение полученного цилиндра x, y 0 совпадает с

уравнением границы той области D , которая является далее областью интегрирования в плоскости XOY .

Пример 3.3 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела,

ограниченного поверхностями y x2 z2 и 2z y2 .

Рисунок 3.5

Решение. Построим обе поверхности (правая часть конуса и цилиндр параболический) и тело, ограниченное ими (на рис. 3.5 оно выделено синим цветом). Чтобы составить двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, необходимо построить цилиндр такой, чтобы выделенное тело было заключено в нём, и чтобы он проецировал тело на одну из координатных плоскостей в область D .

В данной задаче удобно спроецировать полученное тело на координатную плоскость XOZ . (См. замечание 1)

Это уравнение проецирующего цилиндра, а в плоскости XOZ это уравнение окружности, ограничивающей область D1 . (см. рис. 3.6).

19

Используя формулу (3.2), составим интеграл для вычисления объёма

V y2 x, z y1 x, z dzdx , где

D1

D1

С учётом формы области D1 этот интеграл вычислим в полярных

x r cos

координатах, введя их следующим образом: z r sin .

2.Вычисление площади поверхности. Понятие площади поверхности.

Пусть G - гладкая (кусочно-гладкая) ограниченная поверхность. Разобьём её гладкими кривыми произвольно на n частей ( на n элементарных площадок) так, чтобы каждая из этих площадок однозначно проецировалась на касательную плоскость, проведённую в любой точке элементарной площадки.

На каждой элементарной площадке Gi выберем произвольную точку Mi и

проведём через эти точки касательные плоскости к поверхности. Обозначим через i площадь проекции каждой элементарной части на свою

n

касательную плоскость. Составим сумму Sn i .

i 1

Если существует предел lim Sn S , то поверхность называется

n d 0

квадрируемой, а число S - её площадью.

Наглядным примером и моделью может служить всем известный прибор – зеркальный шар для праздников. Он обклеен множеством плоских зеркальных пластинок. В пределе, при бесконечном возрастании числа пластинок, и, соответственно, уменьшении размера каждой пластинки,

20