Проекции многогранников

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» Кафедра «Инженерная графика»

Т.Л.Белобородова, Е.Ю.Кичигина

ПРОЕКЦИИ МНОГОГРАННИКОВ

Электронное учебное издание

Методические указания к выполнению домашнего задания по дисциплине «Начертательная геометрия»

для студентов факультета ИУ

Москва

2

(С) 2014 МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА

УДК 744.44

Рецензент

Белобородова Т.Л., Кичигина Е.Ю. «Проекции многогранников»

под редакцией заведующего кафедрой «Инженерная графика» к.т.н., доцента В.И. Серегина

Данные методические указания составлены с целью оказания помощи студентам, выполняющим домашнее задание. В процессе работы студенты приобретают необходимые знания и навыки построения изображений прямых и плоскостей на примере многогранников.

Для студентов МГТУ имени Н.Э. Баумана специальностей ИУ.

Рекомендовано учебно-методической комиссией факультета РК МГТУ им. Н.Э. Баумана

Электронное учебное издание

Татьяна ЛеонидовнаБелобородова Елена ЮрьевнаКичигина

ПРОЕКЦИИ МНОГОГРАННИКОВ

(С) 2014 МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

3

Оглавление

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

4

Введение

Изучение первого раздела курса начертательной геометрии основано на использова-

нии полученных студентами знаний в школе по геометрии. Поэтому правила построения проекций точек, прямых линий и плоскостей изучается в курсе на примерах построения проекций простых тел – правильных многогранников.

Многогранник – часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого много-

угольника является стороной ровно одного другого многоугольника, называемого смеж-

ным. Причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, линии пересечения граней – ребрами, точки пересе-

чения ребер – вершинами многогранника.

Рассмотрим построение изображений многогранников. В основу получения изобра-

жений на чертеже положен метод прямоугольного проецирования на две взаимно-

перпендикулярные плоскости проекций. При этом многогранник располагают относитель-

но плоскостей проекций так, чтобы максимальное число граней проецировалось на фрон-

тальную плоскость π2 без искажения. Основание обычно располагают параллельно гори-

зонтальной плоскости проекций.

Цель и содержание задания.

Домашнее задание, выполняемое студентами, имеет целью научить строить проек-

ции точек, прямых линий и плоскостей, и определять их взаимную принадлежность на изображениях призмы и пирамиды.

Домашнее задание состоит из следующих разделов:

1.Построение проекций призмы и пересечение ее проецирующей плоскостью.

2.Построение проекций пирамиды и пересечение ее проецирующей плоскостью.

Последовательность выполнения домашнего задания:

1.Построение проекций призмы.

2.Пересечение призмы проецирующей плоскостью.

3.Построение проекций пирамиды.

4.Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью.

5.Построение разрезов.

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

5

Построение проекций призмы

Следующие признаки позволяют утверждать, что изображение является изображе-

нием именно призмы (или, в частности, параллелепипеда):

- наличие только прямолинейных отрезков, причем они служат проекциями или ре-

бер, или граней; - наличие параллелограммов или прямоугольников как проекций боковых граней;

-наличие любого многоугольника как проекции основания.

Построим изображение правильной треугольной призмы (Рис.1). Основанием приз-

мы служит правильный треугольникABC, параллельный горизонтальной плоскости проек-

ций. Поэтому на горизонтальную плоскость он проецируется в натуральную величину – проекцияAʹBʹCʹ. Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то каждая сторона треугольника AʹBʹCʹявляется горизонтальной проекцией грани. Ребра призмы являются горизонтально проецирующими прямыми, поэтому каждая вершина треугольникаAʹBʹCʹ является горизонтальной проекцией ребра призмы; соответ-

ственно ребраAA1, BB1, CC1проецируются в точкиAʹ,Bʹ,Cʹ.

Построим фронтальную проекцию призму (вид спереди). Фронтальной проекцией является прямоугольникAʹʹA1ʹʹB1ʹʹBʹʹ. Стороны AʹʹA1ʹʹ и B1ʹʹBʹʹ являются проекциями реберAA1, BB1, а стороны AʹʹBʹʹиA1ʹʹB1ʹʹ -- проекциями верхнего и нижнего оснований призмы. Проекция ребра CC1– CʹʹC1ʹʹ расположена внутри прямоугольника и совмещается с осью симметрии. Прямоугольник AʹʹA1ʹʹB1ʹʹBʹʹ является проекцией граниAA1B1B, парал-

лельной фронтальной плоскости проекций и проецируется на эту плоскость без искажения.

Две другие боковые грани AA1С1С и BB1C1C проецируются с искажением на фронтальную плоскость π2.

Профильную проекцию призмы строим, используя координаты у и z (Рис.1). Про-

фильная проекция призмы – прямоугольник AʹʹA1ʹʹС1ʹʹСʹʹ с вершинамиAʹʹʹ≡Bʹʹʹ,A1ʹʹʹ≡B1ʹʹʹ,

С1ʹʹʹ,Сʹʹʹ. Сторона прямоугольникаAʹʹʹA1ʹʹʹ(BʹʹʹB1ʹʹʹ)является проекцией боковой грани

AA1B1B и ребер AA1иВВ1, принадлежащих этой грани. Грань AA1B1B параллельна фрон-

тальной плоскостиπ2и перпендикулярна горизонтальной плоскости π1 и профильной плос-

костиπ3. Сторона СʹʹʹС1ʹʹʹ– проекция ребраСС1. Прямоугольник AʹʹʹA1ʹʹʹС1ʹʹʹСʹʹʹявляется и проекцией граниAA1С1С, а также граниCC1B1B, которая закрыта граньюAA1С1С. Так как обе грани не параллельны профильной плоскости проекций, то они проецируются с иска-

жениями. Все боковые ребра призмы на фронтальной и профильной плоскостях проекций

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

6

проецируются без искажения, так как они являются горизонтально-проецирующими пря-

мыми, следовательно, параллельны фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Рис.1

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

7

Найдем недостающие проекции точек – L, M.

Точка L задана фронтальной проекцией Lʹʹ и принадлежит граниAA1С1С.

Для построения горизонтальной проекции точки L через точку Lʹʹ проведена линия верти-

кальной связи до пересечения с прямойAʹCʹ, в которую проецируется граньAA1С1С. На ли-

нии горизонтальной связи с помощью координаты уL находим профильную проекцию точ-

ки L(Lʹʹʹ). Точка M задана горизонтальной проекцией Mʹ и принадлежит верхнему основа-

нию призмы. Фронтальная проекция точки M найдена на пересечении вертикальной линии связи, проведенной черезMʹ, с отрезком прямой AʹʹBʹʹ– проекцией верхнего основания призмы. Профильная проекция точки M(Mʹʹʹ)получена с помощью координатыуM.

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

8

Пересечение призмы проецирующей плоскостью

Рассмотрим пересечение правильной шестиугольной призмы проецирующими плос-

костями (Рис.2).

Плоскость γ1 наклонена к оси призмы под углом α1 и перпендикулярна фронтальной

плоскости. Эта плоскость пересекает ребра призмы в точках A, K и K1, а две грани призмы по прямым AK(AʹKʹ, АʹʹКʹʹ), АК1(АʹКʹ1, АʹʹК1ʹʹ)

Учитывая наличие плоскостиγ2, параллельнойπ1, получим:

–на фронтальной плоскости проекций – прямые АʹʹКʹʹ(АʹʹК1ʹʹ), совпадающие с фронтальной проекцией плоскости – γ1ʹʹ;

–на горизонтальной плоскости – треугольникАʹКʹК1ʹ, вершины которого совпадают

свершинами шестиугольника – проекцией нижнего основания призмы;

–на профильной плоскости – треугольник АʹʹʹКʹʹʹК1ʹʹʹ, вершины которого построе-

ны с помощью горизонтальных линий связи и координат У.

При пересечении призмы горизонтальной плоскостью γ2 получим:

–на фронтальной плоскости проекций – прямые КʹʹМʹʹ(К1ʹʹМ1ʹʹ)совпадающие с фронтальной проекцией плоскости – γ2ʹʹ;

–на горизонтальной плоскости проекций – четырехугольникКʹМʹМ1ʹК1ʹ, вершины которого Кʹ и К1ʹсовпадают с вершинами шестиугольника – проекций нижнего основания призмы, а сторона МʹМ1ʹявляется горизонтальной проекцией прямой пересечения фрон-

тально-проецирующих плоскостей γ2 и γ3(фронтальная проекция линии ММ1– точ-

каMʹʹ≡M1ʹʹ).

– на профильной плоскости проекций – прямыеКʹʹК1ʹʹʹ (MʹʹʹM1ʹʹʹ)построены с по-

мощью горизонтальных линий связи.

Плоскость γ3 наклонена к оси призмы под углом α2 и перпендикулярна фронтальной плоскости.

Плоскость γ3 пересекает переднюю и заднюю грани по прямым МNиМ1N1.

В результате пересечения получим:

– на фронтальной плоскости проекций – проекции прямыхMʹʹNʹʹ (M1ʹʹN1ʹʹ) совпа-

дут с проекцией плоскостиγ3ʹʹ;

– на горизонтальной плоскости проекций – четырехугольник МʹNʹN1ʹM1ʹ;

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

9

– на профильной плоскости проекций – четырехугольникMʹʹʹNʹʹʹN1ʹʹʹM1ʹʹʹ.

Рис. 2

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.

10

Построение проекций пирамиды

Следующие признаки позволяют утверждать, что изображена пирамида:

-наличие только прямолинейных отрезков, которые служат проекциями ребер или граней,

- наличие треугольников как проекций боковых граней; -наличие любого многоугольника как проекции основания;

-наличие вершины пирамиды как точки пересечения боковых ребер.

Построим проекции правильной треугольной пирамиды (Рис.3). Пирамида называет-

ся правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники и основанием высоты правильной пирамиды является центр описанной (или вписанной) около многоугольника окружности.

Основание пирамиды совместим с горизонтальной плоскостью проекций, на эту плоскость оно проецируется в натуральную величину. При этом высота пирамиды на гори-

зонтальную плоскость проецируется в точку. Чтобы построить горизонтальную проекцию пирамиды, на горизонтальной плоскости из точкиSʹ, как из центра, проведем окружность и впишем в нее равносторонний треугольник (Рис. 3). Вершины его соединим прямыми с точкой S′ . Полученная фигура является горизонтальной проекцией пирамиды: ∆АʹВʹСʹ–

горизонтальная проекция основания пирамиды;Sʹ– горизонтальная проекция верши-

ны, а прямыеSʹAʹ,SʹBʹи SʹCʹ– горизонтальные проекции ребер пирамиды. Так как основание пирамиды перпендикулярно фронтальной плоскости, то фронтальной проекцией основания является прямая. Достроим фронтальную проекцию. Через точку Sʹпроведем вертикальную линию связи и отложим на ней от фронтальной проекции основания АʹВʹСʹвысоту пирами-

ды. Получим точку Sʹʹ- фронтальную проекцию вершины пирамиды. Соединим ее с точка-

ми Bʹʹ, Aʹʹ, Cʹʹ Получим фронтальную проекцию пирамиды, где SʹʹBʹʹAʹʹ и SʹʹAʹʹCʹʹ --

фронтальные проекции боковых граней SBA иSAC, а SʹʹBʹʹCʹʹ-- фронтальная проекция зад-

ней граниSBC. Профильную проекцию строим, используя фронтальную и горизонтальную проекции.

Отметим, что плоскости граней SAB иSAC общего положения, а плоскость

SBC– профильно-проецирующая.

На грани SABзадана горизонтальная проекция точки K. Требуется построить фрон-

тальную и профильную проекции этой точки. Для этого надо построить проекции прямой,

принадлежащей плоскости общего положения SAB и проходящей через точку K. Через го-

ризонтальную проекцию Kʹпроводим прямую 1ʹ2ʹ параллельно стороне основанияAB. По-

Оглавление

Т.Л. Белобородова, Е.Ю. Кичигина. Проекции многогранников.