ДЗ по Лин.алг._МТ11-22
.pdf
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 20.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −1; −1; 0; 1), 2(0; −1; −2; 1; −1), 3(3; −4; −5; 1; 2).
2.Доказать, что векторы 1(−6; −7; −3), 2(5; 7; 1), 3(−3; −4; −1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (7; 3; 9), в новом базисе (−3; −3; −2).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; −1; 2; 0), 2(1; −1; 1; −1), 3(2; −2; 5; 1), 4(−2; 1; −5; −2). Найти координаты вектора
= 1 + 2 2 + 3 + 3 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = [ , ], где (3; 6; −4). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−2 |
2 −1 , |
= |
8 11 |
0 . |
||
|
5 |
−3 |
3 |
|
−3 |
−10 |
−5 |
|
−4 |
−6 |
3 |
|
−6 |
−6 |
3 |
6.Привести квадратичную форму −2 21 + 4 1 2 + 4 1 3 − 4 22 − 7 23 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму − 2 + 8 −2 + 14 2 −8 − 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 8 − 3 2 = 40.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 21.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−5; 0; 4; 1; −1), 2(1; 1; −1; 0; 1), 3(3; −2; −2; −1; −1).
2. |
Доказать, что векторы 1(−2; 3; 1), 2(−5; 4; 3), 3(−1; −1; 1) образуют базис в R3. |
|||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
в исходном, если в исходном |
|||
базисе (−17; 11; 10), в новом базисе (6; 6; 3). |
|
|
||
3. |
Построить |
ортонормированный базис в линейной |
оболочке |
системы векторов |
1(0; −1; 1; −1), |
2(1; 2; −3; 2), 3(−1; −1; 2; −1), 4(−1; −2; 2; −1). |
Найти координаты |
||
вектора = −3 1 + 2 + 2 3 + 4 в этом базисе. |
|
|
||
4.Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотношением ( ( )) = −2dd22 ( ) + 6dd ( ) + ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе {1, , 2}.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−2 |
8 |
0 , |
= |
−1 |
2 |
2 . |
|
−4 |
16 |
−1 |
|
2 |
1 |
−2 |
|
6 −12 |
5 |
|
0 |
−1 |
5 |
|
6.Привести квадратичную форму − 21 −2 1 2 +2 1 3 −2 22 +6 2 3 −6 23 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 8 + 2 + 4 2 − 4 + 2 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 9 2 − 4 + 6 2 = 15.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 22.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−3; 0; −1; −1; 2), 2(2; 1; −3; 0; −3), 3(4; −1; 5; 2; −1).
2.Доказать, что векторы 1(−2; 3; −1), 2(1; −1; 1), 3(1; 1; 2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−4; 6; −3), в новом базисе (0; 0; 1).
3. Построить |
ортонормированный базис в |
линейной оболочке системы векторов |
1(1; 1; 0; 1), 2(3; 2; −1; 1), 3(−5; −3; 2; −1), |
4(−1; −1; 1; 1). Найти координаты век- |
|
тора = −3 1 |
− 3 2 − 2 3 + 2 4 в этом базисе. |
|
4.Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = ( , ) , где (1; 5; 1). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
−4 −11 −12 , |
= |
−4 −8 |
2 |
. |
||||||
|
|
5 |
0 |
−1 |
|
|
|
11 |
15 |
−2 |
|
|
4 |
16 |
17 |
|
8 |
2 |
3 |
|
|||
6.Привести квадратичную форму −2 21 − 4 1 2 + 4 1 3 − 4 22 − 7 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 2 − 2 2 − 8 − 18 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 4 2 + 10 + 4 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 23.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 0; 4; 2; −1), 2(−1; 1; −3; −1; 0), 3(−4; 9; −7; 1; −5).
2.Доказать, что векторы 1(4; 5; 8), 2(−3; −1; 3), 3(1; 0; −2) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(7; 4; −2), в новом базисе (−6; −1; 1).
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов |
|
1(−1; 1; −1; 0), |
2(−1; 2; −1; 1), 3(1; −4; 1; −3), |
4(2; 2; 1; 3). Найти координаты век- |
тора = 3 1 − 3 2 − 2 3 − 2 4 в этом базисе. |
|
|
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = ( , ) , где (6; −3; −4),(−4; −5; 2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
0 |
0 |
−4 , |
= |
−8 |
9 |
12 . |
|
|
4 |
4 |
16 |
|
|
15 |
9 |
0 |
|
−12 |
−16 |
−18 |
|
12 |
−18 |
−9 |
|
6. Привести квадратичную форму −2 2 + 8 − 4 − 10 2 + 20 − 21 2 к диагональному
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 21 − 4 1 2 − 6 1 3 + 22 + 6 2 3 + 10 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую − 2 − 4 + 2 2 = 4.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 24.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(0; −1; 5; 9; −3), 2(1; 0; 1; 2; −2), 3(3; 1; −2; −3; −3).
2.Доказать, что векторы 1(0; −5; 3), 2(1; −3; 1), 3(−1; 0; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−2; 23; −12), в новом базисе (1; 5; 0).
3. |
Построить ортонормированный базис |
в линейной оболочке |
системы |
векторов |
||
1(1; 0; 1; 2), 2(2; −1; 2; 3), 3(2; −3; 3; 2), |
4(−1; 1; −1; −1). |
Найти |
координаты векто- |
|||
ра = −2 1 − 2 2 |
+ 3 − 3 4 в этом базисе. |
|
|
|
||
4. |
Оператор в |
пространстве задан соотношением ( ) |
= · Пр , где |
(2; 3; 4), |
||
(−2; 5; −2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно,
привести матрицу оператора ( или |
или обоих) к диагональному виду и записать |
||||||||||
матрицу перехода. |
−12 0 |
0 |
, |
= |
−3 −2 |
0 |
. |
||||
= |
|||||||||||
|
|
7 |
−1 |
−2 |
|
|
|
10 |
11 |
−1 |
|
|
12 |
6 |
6 |
|
4 |
6 |
2 |
|
|||
6.Привести квадратичную форму − 2 + 2 + 4 −2 2 −2 −7 2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −2 2 − 4 + 6 − 5 2 + 12 − 10 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую −3 2 + 8 − 3 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 25.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(0; 1; 2; −2; 3), 2(−1; 3; −1; −1; −1), 3(−2; 7; 0; −4; 1).
2.Доказать, что векторы 1(0; 2; −1), 2(−1; −1; −1), 3(−1; −2; 0) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (−3; 3; −3), в новом базисе (4; −3; −4).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(−1; −1; −2; 0), 2(3; 1; 3; 1), 3(−4; −1; −3; −1), 4(2; 1; 3; 1). Найти координаты вектора
= 1 − 2 2 − 3 + 2 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = ( , ) , где (−6; 5; −6),(−1; −5; −1). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−2 |
1 |
−6 , |
= |
0 |
−10 |
4 . |
|
−2 |
−5 |
6 |
|
−6 |
−4 |
0 |
|
−4 |
−2 |
−4 |
|
−1 |
−17 |
6 |
6.Привести квадратичную форму − 21 −2 1 2 +2 1 3 −2 22 +8 2 3 −11 23 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −6 21 − 8 1 2 + 8 1 3 + 4 2 3 − 7 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 6 2 + 4 + 9 2 = 5.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 26.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; −3; −1; −5; −2), 2(−3; −5; −4; −6; −1), 3(0; 2; 1; 3; 1).
2.Доказать, что векторы 1(3; −4; 1), 2(8; −8; 3), 3(2; −1; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(10; −17; 2), в новом базисе (−1; −4; −6).
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
|
1(1; −1; 0; 1), |
2(−2; 3; 1; −1), 3(−3; 2; −1; −4), |
4(−3; 1; −1; −3). |
Найти координаты |
вектора = 3 1 − 2 2 + 2 3 − 4 в этом базисе. |
|
|
|
4. Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотно-
шением ( ( )) = (5 + 4)dd ( ) − 4 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−8 −3 |
−2 , |
= |
1 |
−7 −4 . |
||
|
3 |
1 |
1 |
|
0 |
8 |
4 |
|
−12 −6 |
1 |
|
−2 10 |
6 |
||
6.Привести квадратичную форму −3 2 +6 +6 −7 2 +2 −10 2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 7 21 −6 1 2 −18 1 3 − 22 + 6 2 3 + 7 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 7 2 − 2 + 7 2 = 12.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 27.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 1; −2; 4; 0), 2(−7; 5; 2; −8; −4), 3(0; −3; 3; −5; 1).
2.Доказать, что векторы 1(2; 1; 2), 2(7; 5; 8), 3(3; 1; 3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(1; −3; 0), в новом базисе (−4; 5; 3).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; 1; 2; 0), 2(3; 2; 2; 1), 3(−2; −4; −3; 2), 4(−3; −1; −2; −2). Найти координаты вектора
= −3 1 + 2 + 3 − 2 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где (1; 5; −3),(3; 4; −3). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−3 −5 1 , |
= |
−5 |
0 |
6 . |
||
|
7 |
15 |
−1 |
|
0 |
−2 |
4 |
|
9 |
15 |
−3 |
|
−7 |
−5 |
12 |
6.Привести квадратичную форму − 2 +4 −2 −6 2 +12 −11 2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −6 −4 −12 2 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 4 2 + 4 + 4 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 28.
1. Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(5; −1; 0; 1; −1), 2(4; 1; −4; −2; 0), 3(−2; −2; 1; 1; −1).
2. |
Доказать, что |
векторы 1(−3; 1; −5), 2(−1; 1; −2), |
3(1; 2; 0) образуют базис в R3. |
|||||
Найти координаты вектора в этом базисе и вектора |
|
в исходном, если в исходном |
||||||
базисе (7; −1; 10), в новом базисе (1; 6; 3). |
|
|
|
|
|
|||
3. |
Построить ортонормированный базис в линейной |
оболочке |
системы |
векторов |
||||
1(0; −1; −1; −1), |
2(1; 1; −2; −5), |
3(1; 1; −1; −3), |
4(−1; −4; −1; 2). |
Найти |
координа- |
|||
ты вектора = 2 1 + 2 − 3 − 4 в этом базисе. |
|
|
|
|
|
|||
4.Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотношением ( ( )) = −3dd22 ( ) + dd ( ) + 6 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
11 11 |
−1 , |
= |
0 |
0 |
−6 . |
|
−14 −15 |
0 |
|
−4 |
4 |
8 |
|
−5 −7 |
−3 |
|
−10 7 |
17 |
|
6.Привести квадратичную форму −2 2 −4 −4 −4 2 +8 −21 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 2 21 + 2 1 3 + 2 22 + 4 2 3 + 6 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 9 2 − 4 + 6 2 = 10.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 29.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(5; 0; −2; 5; −1), 2(−1; −1; 3; −2; 1), 3(−7; −2; 8; −9; 3).
2.Доказать, что векторы 1(1; −4; 0), 2(−1; 1; −5), 3(0; 2; 3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−5; 10; −18), в новом базисе (4; 4; −6).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(1; 0; −1; 1), 2(−2; 1; 2; −1), 3(−2; 2; 3; −1), 4(−4; 1; 4; −3). Найти координаты вектора
= −3 1 + 2 2 − 3 3 − 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве задан соотношением ( ) = · Пр , где (−5; −1; 6),(−1; −5; −2). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { , , }.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
6 |
3 |
4 , |
= |
0 |
−4 |
8 . |
|
4 |
2 |
4 |
|
5 |
9 |
−7 |
|
−9 |
6 |
7 |
|
−1 −5 |
7 |
|
6.Привести квадратичную форму −3 2 −6 −6 −7 2 +2 −11 2 к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 7 2 + 12 − 12 + 2 2 − 8 + 2 2 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую −7 2 + 6 + 2 = 2.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 30.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(−9; −4; −7; −5; −3), 2(1; 2; 1; 1; 1), 3(−6; −5; −5; −4; −3).
2.Доказать, что векторы 1(3; −2; 1), 2(−7; 1; 7), 3(−3; 0; 4) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−22; 14; −5), в новом базисе (1; 6; −5).
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы векторов |
||
1(1; −2; 0; −2), |
2(2; −3; 2; −2), |
3(1; −2; 1; −1), |
4(2; −4; 1; −3). |
Найти координаты |
вектора = −2 1 + 2 − 3 3 + 4 в этом базисе. |
|
|
||
4. В базисе { 1, 2, 3} вектор имеет координаты = ( 1; 2; 3). Оператор переводит вектор в вектор ( ) = (− 1 + 6 2 − 4 3; 7 1 − 9 2 − 9 3; 4 1 + 7 2 + 9 3). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода. |
−6 −5 |
2 |
, |
= |
−6 −3 −3 . |
||||||
= |
|||||||||||
|
|
12 |
12 |
−3 |
|
|
9 |
6 |
3 |
|
|
|
5 |
7 |
2 |
|
|
2 |
2 |
4 |
|||
6.Привести квадратичную форму −2 2 +8 −4 −9 2 +10 −5 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму −3 21 − 4 1 2 − 8 1 3 − 4 2 3 − 3 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую − 2 + 4 + 2 2 = 2.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 31.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(5; 5; −1; 1; 3), 2(3; −3; −1; −9; 5), 3(−4; −1; 1; 4; −4).
2.Доказать, что векторы 1(−1; −6; 3), 2(−1; 3; −2), 3(1; −5; 3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (−3; 17; −10), в новом базисе (−3; 0; −6). |
|
|
|
||
3. Построить |
ортонормированный базис в линейной оболочке |
системы |
векторов |
||
1(−1; −1; 1; 0), |
2(−3; −3; 2; −1), |
3(−2; −2; 1; −1), |
4(2; 1; −1; −1). |
Найти |
координа- |
ты вектора = 2 1 − 2 2 + 3 3 − 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотно-
шением ( ( )) = (4 − 3)dd ( ) + ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе {1, , 2}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно,
привести матрицу оператора ( или |
или обоих) к диагональному виду и записать |
||||||||
матрицу перехода. |
1 |
−10 11 |
, |
= |
0 |
−2 4 |
. |
||
= |
|||||||||
|
−3 |
12 |
−16 |
|
4 |
4 |
−12 |
|
|
|
1 |
−6 |
7 |
|
|
6 |
4 |
−11 |
|
6. Привести квадратичную форму −3 2 + 6 + 12 − 7 2 − 4 − 19 2 к каноническому
виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 3 21 + 4 1 3 + 3 22 − 2 2 3 + 7 23 к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 4 2 − 6 − 4 2 = 5.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 32.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(4; 3; 7; −1; −6), 2(−6; −5; −9; 1; 8), 3(1; 1; 1; 0; −1).
2.Доказать, что векторы 1(4; −5; 3), 2(3; −3; 2), 3(1; −1; 1) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе
(−5; 10; −7), в новом базисе (0; 1; 5).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(2; −1; 0; −1), 2(−3; 2; −1; 1), 3(2; 1; 1; −3), 4(−5; 4; −1; 1). Найти координаты вектора
= 3 1 + 3 2 − 2 3 − 2 4 в этом базисе.
4. Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотно-
шением ( ( )) = (− − 2)dd ( ) + 5 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе {1, , 2}.
5. Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
= |
−5 |
4 |
−4 , |
= |
−4 −2 0 . |
||
|
−1 |
6 |
0 |
|
5 |
3 |
−1 |
|
6 −6 |
5 |
|
4 |
3 |
−2 |
|
6.Привести квадратичную форму − 2 + 4 + 4 − 6 2 − 14 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 3 21 + 6 1 3 + 3 22 + 12 2 3 + 7 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 3 2 − 8 + 3 2 = 1.
Индивидуальное ДЗ по курсу «Линейная алгебра» 2016. Группа МТ11-22.
Вариант 33.
1.Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов 1, 2, 3, равную ноль-вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. 1(1; 1; −1; 1; 0), 2(1; −1; 5; −2; −3), 3(2; 0; 3; −3; −2).
2.Доказать, что векторы 1(5; −1; −2), 2(−2; 3; −2), 3(−2; 4; −3) образуют базис в R3. Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном
базисе (−10; 1; 5), в новом базисе (5; −4; −6).
3. Построить ортонормированный базис в линейной оболочке системы векторов
1(0; 1; −1; 1), 2(−1; 2; −2; 1), 3(1; 2; −1; 4), 4(−2; −1; 1; −3). Найти координаты вектора
= 2 1 − 3 2 + 3 − 4 в этом базисе.
4.Оператор в пространстве 2[ ] многочленов степени не выше второй задан соотношением ( ( )) = 5dd22 ( ) − dd ( ) + 4 ( ). Доказать линейность оператора и найти его матрицу в базисе { 2, , 1}.
5.Найти собственные значения и собственные векторы операторов и . Если возможно, привести матрицу оператора ( или или обоих) к диагональному виду и записать
матрицу перехода.
= |
10 |
4 |
−8 , |
= |
3 |
0 |
3 . |
|
8 |
0 |
−4 |
|
1 |
2 |
3 |
|
13 |
2 |
−8 |
|
−6 −4 −8 |
||
6.Привести квадратичную форму − 2 +2 −2 −2 2 +8 −11 2 к диагональному виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
7.Привести квадратичную форму 6 21 −8 1 2 −4 1 3 + 2 2 3 + 4 23 к диагональному виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
8.Построить кривую 8 2 − 4 + 5 2 = 2.