2. 3. 4 Обобщение результатов и получение уравнения шд.

Уравнение движения ротора.

После того как было получено соотношение для момента мы можем наконец записать уравнение движения ротора в аналитическом виде, с учётом момента инерции ротора и суппорта, а также трения. (стр. 39)

(10)

Рассмотрим все слагаемы по порядку:

1. J [кг*м^2] – момент инерции ротора и суппорта (приведённого к радиусу шестерни).

2. Gd [м*Н*с*рад^(-1)] – коэффициент вязкого трения, который учитывает наличие трения в суппорте, а также может быть использован для описания электромагнитых эффектов второго порядка, возникающих из-за гистерезиса и вихревых токов. Зависит от скорости вращения, в некоторых источниках ещё называют динамическое трение.

3. Gs [м*Н] – коэффициент статического трения, не зависит от трения. Сильно возрастает, при обработки платы инструментом: игла.

4. Следующие 2 слагаемых – суммарный момент ротора ШД.

Поскольку мы используем источник напряжения для питания двигателя. Ток не может мгновенно измениться с изменением напряжения. Уравнения для токов в обмотках статора:

(11)

(12)

Остановимся на слагаемых обоих уравнениях:

1. Напряжение поданное на соответствующую обмотку.

2. Активное падение напряжения.

3. Противо-ЭДС катушки индуктивности.

4. ЭДС вызванное взаимоиндукцией обмоток.

5. ЭДС наводимое от движения намагниченного ротора.

Четвёртым слагаемым можно пренебречь, поскольку в большинстве ШД взаимоиндукция составляет лишь 10% от индуктивности обмоток. Также пренебрегаем последним слагаемым, поскольку его влияние заметно лишь на высоких частотах (если быть точным – частоты за среднечастотным резонансом – для выбранного двигателя около 10 об. в сек). После данных упрощений перепишем уравнения для токов в обмотках статора.

(13)

(14)

Таким образом, мы получили 3 уравнения: (10), (13) и (14), которые полностью описывают ШД с приемлемой точностью. Здесь на вход подаём 2 напряжения, на выходе получаем угол поворота ротора.

2.4 Математическая модель шд вMatlab.

Для моделирования всех процессов в дипломном проекте используем MATLAB версии 7.5.0.342 (R2007b) с Simulink версии 7.0 , 2007-го года выпуска. В этом пакете уже есть модель шагового двигателя (если раскрыть дерево элементов: библиотека SimPowerSystems -> Machines), но у этой модели нельзя в полной мере настроить параметры шагового двигателя, поэтому создадим собственную модель ШД. Для этого в прошлой главе были выведены все необходимые формулы. Имена блоков на английском, поскольку использование кириллических букв в этом случае невозможно (из-за невозможности сохранения и открытия файла).

Итак, начнём с уравнения движения ротора, формула (10). Таким образом можно представить это уравнение в среде Simulink, рис 2.4.1:

Рис. 2.4.1

Приведём ещё раз уравнение (10) для удобства просмотра:

(10)

На вход системы подаётся 2 источника тока, которые в реальности подаются на катушки ШД. А на выходе получаем угол поворота ротора. В самом общем случае сигналы Ia и Ib могут быть любыми, но для вращения двигателя эти сигналы должны быть синусоидальные и сдвинутые по фазе на 90 градусов, при этом на выходе получим угол поворота, выращенный в радианах, который будет линейно возрастать.

Рассмотрим структуру модели. Элементы Gain1, Gain3, Gain4, Gain6, Constans1=Hh образуют коэффициенты синусов (образно говоря - обвес), 2-х последних слагаемых уравнения. Function1,2 являются обычными функциями синуса с коэффициентом. На выходе из каждой из этих функций получаем составляющую момента от соостветствующей обмотки ШД. Эти моменты алгебраически суммируются, кроме того из их суммы вычитается динамическая сила трения (местная обратная связь в этой системе). Далее идёт блок Dead Zone – мёртвая зона, которая учитывает статическое трение, характеризуется коэффициентом Gs. Теперь мы получили мгновенное значение момента, с учётом всех сил трения. Далее момент делится на общий момент инерции (Gain8), получая угловое ускорение с размерностью [рад/сек^2]. Далее блок Integrator1 преобразует этот сигнал в угловую скорость [рад/сек]. Сигнал угловой скорости в свою очередь также поступает на интегратор Integrator2, на выходе которого получаем угол e. Далее угол [рад] поступает на вход системы, как главная отрицательная связь, поступает на вход системы и входит в состав функций синусов. Блок primary e вводит первоначальную ошибку в систему.

Приведём часть кода m-файла, для данной модели (Рис. 2.4.1) (полностью m-файл вы можете посмотреть в файле steping_motors_v8.ru):

p=50; %редукция

S=200; %кол-во шагов на оборот

Fm=6.36e-3; %токосцепление магнита [Тл*м^2]

Jr=13.5e-6; %момент инерции ротора [кг*м^2]

Eh=pi/100; %величина шага [рад]

Gst=0.075; %статический момент трения [Н*м]

Gd=0.0027; %демпфирующий момент трения [Н*м*с/рад]

Mx=2.0; %масса суппорта X [кг]

Dc=15e-3; %радиус зубчатого колеса [м]

J=Jr+Mx*Dc*Dc/4 %общий момент инерции [кг*м^2]

В m-файле упущены некоторые расчёты. Поэтому рассмотрим их отдельно здесь.

Расчёт токосцеления магнита. Используем уравнение движения ротора (10). Известен момент удержания из паспортных данных а также номинальный ток обмоток. Важно также учесть что этот момент измерялся при 2-х запитанных обмотках. Примем то, что ротор находится в покое, тогда все члены, кроме слагаемых с синусами можно отбросить. И вывести из полученной формулы Fm:

(15)

(16)

Помним, что момент удержания – это максимальный момент, при ошибке равной шагу, понятно что при этом оба синуса станут равные корню из 2-х на 2. После этих упрощений получаем формулу:

(17)

Подставив значения Mnom=1.26 м*Н и Inom=2.8А, получим ответ указанный в m-файле.

[Тл*м^2] токосцеление магнита

Измерение коэффициентов Gd и Gs. Теоретический расчёт этих величин потребовал бы моделирования весьма сложных физических процессов, поэтому я измерил их практическим путём. Для этого понадобился динамометер, секундомер и практически реализованная ось X, с суппортом и двигателем. Сначала измерение силы трения проводилось при малых скоростях движения: сила составила в этом случае 10Н, откуда можно сразу вывести Gs (момент статического трения):

[м*Н] статическое трение

Далее измерим силу трения при значительной скорости. Сила составит 15 Н. При этом также сделаем замер расстояния и времени равномерного движения суппорта во время измерений. Получили: время 3 сек. и расстояние 210мм. Скорость движения составит:

[м/с] линейная скорость

[рад/с] угловая скорость

Далее чтобы получить динамический момент трения, вычтем из общего момента от 15 Н момент статического трения и поделим на угловую скорость:

[м*Н*с/рад]

момент динамического трения

Замена источников тока на источники напряжения.

Обмотки ШД обладают собственной индуктивностью, поэтому в них ток не может резко возрасти, что накладывает дополнительное условие, если мы используем источники напряжений в модели. См. формулы (13) и (14) выведенные ранее:

(13)

(14)

Каждую из этих формул в конечном итоге можно представить в виде передаточных функций.

В этих формулах R = r+Rd, где r – собственное сопротивление обмотки, Rd – добавочное сопротивление, которое мы сами подключаем последовательно в цепи обмотки для будущих экспериментов, по умолчанию его будем считать равным 0.2 Ом – сопротивление ключей.

Итак приведём формулу (13) к доступной форме для добавления к математической модели в Simulink. Сделаем замену операторного аналога:

(18)

Тогда:

(19)

Понятно что для катушки В передаточная функция будет аналогичная. Эта функция преобразует напряжение в ток обмотки. Теперь добавим её к математической модели ШД:

Рис. 2.4.2

Теперь мы имеем полноценную модель ШД. На вход подаются напряжения, а на выходе имеем угол положения ротора в [рад]. Кроме того для дополнительного анализа системы выносятся текущие значения токов Ia и Ib для построение графика зависимости этих величин от времени. Блоки Winding A,B преобразуют сигналы напряжений в сигналы токов. Объединим эту модель в субсистему для удобства дальнейшего использования:

Рис. 2.4.2

Приведём параметры обмоток, записанные в m-файле:

L=2.5e-3 %индуктивность обмотки статора [Гн]

r=0.9 %сопротивление обмотки статора [Ом]

Rd=0.2; %дополнительное сопротивление [Ом]