Закон сохранения момента импульса

Момент импульса материальной точки относительно произвольно выбранной точки в пространстве определяется векторным произведением:

. (7)

Вращающий момент, действующий на материальную точку относительно фиксированной точки, определяется выражением: . (8)

Дифференцируя выражение (7) по времени, получим:

. (9)

Принимая во внимание:

(10)

и второй закон Ньютона получим:

. (11)

Таким образом, приходим к важному выводу:,(12)

т.е. скорость изменения момента импульса равна моменту вращения.

Если М=0, то = пост. Момент импульса постоянен в отсутствие моментов вращения. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса для материальной точки.

Этот результат легко распространить на систему из материальных точек. Для этого нужно разбить силы, действующие на материальные точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних и внешних сил, действующих на i-ю материальную точку обозначим через исоответственно. Тогда уравнение (12) дляi-й материальной точки запишется в следующем виде:

(i=1,2,3,…,N). (13)

Сложив аналогичные уравнения для всех материальных точек тела, получим:

(14)

Величина называется моментом импульса системы материальных точек.

Нетрудно показать, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Если обозначить сумму моментов внешних сил буквой, то для системы точек получим выражение, которое по форме совпадает с (12):

. (15)

Для замкнутой системы материальных точек М=0 и суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, мы вновь пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Рассмотрим как систему материальных точек некоторое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной оси Z. Момент импульса материальной точки относительно оси Z определим по формуле:

. (16)

Теперь представим вектор в виде трех составляющих: - параллельной оси Z, - коллинеарной векторуи -перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось Z и вектор (рис.1).

Рис.1

Заменяя в (16) вектор суммой составляющих, получим:

(17)

Здесь вектор перпендикулярен к осиZ, поэтому его составляющая вдоль оси Z равна нулю, вектор сам равен нулю в силу коллинеарности векторови.

Для системы материальных точек:

Но , поэтому:(18)

(Здесь использовано условие, что векторы ивзаимно перпендикулярны).

В выражении (18) - момент инерции системы материальных точек (или тела) относительно осиZ. Следовательно, (19)

Подставляя выражение (19) в (15), получим: (20)

Из этого выражения следует, что если сумма составляющих моментов внешних сил вдоль фиксированной оси равна нулю, то момент импульса системы материальных точек относительно этой оси не зависит от времени (сохраняется).

(21)

Если со временем может меняться момент инерции тела, то угловая скорость вращения тела относительно данной оси тоже изменится. Но произведение их останется постоянным, которое для двух моментов времени можно записать так:

(22)

Закон сохранения и изменения механической энергии

Предположим, что мы имеем замкнутую систему материальных точек, в которой действуют только консервативные силы. Состояние такой системы будет определяться ее конфигурацией и скоростями материальных точек, образующих систему. При переходе системы из состояния I в состояние 2, силы, приложенные к материальным точкам, образующим систему, совершают работу, которую обозначим через А₁₂. В каждом из этих состояний система будет характеризоваться соответственными значениями кинетической энергии Е_к1 и Е_к2 и потенциальной энергии Е_р1, и Е_р2. Тогда работа может быть выражена двояким способом: через разность кинетических энергий:

, (23)

или потенциальных энергий: . (24)

Из этих равенств получим:.(25)

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией Е: .(26)

Тогда равенство (25) принимает вид: (27), где Е₁ и Е₂ - полные энергии системы в состояниях I и 2.

Таким образом, получаем, что полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной.

При переходе из одного состояния в другое могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые в отдельности, но их сумма остается постоянной.

Следует всегда помнить, что закон сохранения механической энергии замкнутой системы только тогда имеет место, когда силы, действующие в системе, являются консервативными.

При наличии не консервативных сил, например, сил трения, сумма кинетической и потенциальной анергии системы не будет оставаться постоянной.

Рассмотрим незамкнутую систему и допустим, что среди внутренних сил имеются силы трения. При этом ограничимся учетом только механических явлений. Разобьем все силы, действующие на материальные точки, на три группы:

1) силы консервативные внутренние,

2) силы трения (внутренние неконсервативные),

3) внешние. вызванные воздействием со стороны тел, не входящих в систему.

Тогда равенства (23) к (24) разобьются на соответственные части:

, (28)

. (29)

Из этих равенств получаем: (30)

или: (31)

Значит, изменение полной механической энергии системы равно сумме работ внешних сил и сил трения.

Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна. Поэтому сила трения всегда обуславливает уменьшение полной механической энергии системы.