Затухание свободных колебаний в реальном контуре

Формулы (5), (8) и (9) описывают незатухающие колебания в идеальном контуре без потерь энергии. Однако, всякий реальный колебательный контур, кроме емкости и индуктивности, обладает еще и активным сопротивлением R . Величина этого сопротивления определяется, в основном, сопротивлением провода, которым намотана катушка. Энергия расходуется на нагревание этого провода, и колебания постепенно затухают.

Для реального контура (рис.3), согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

, (10)

где – падение напряжения на активном сопротивлении. Учитывая, что ,,, а также и , уравнение (10) можно записать в виде

. (10а)

Поделив все члены уравнения на и введя обозначенияи , получим

(10б)

Решением уравнения (10б) является функция

, (11)

которая отличается от функции (5) тем, что амплитуда колебаний зависит от времени: (рис.4). Колебания затухают тем быстрее, чем больше величина параметра , называемого коэффициентом затухания.

Наличие активного сопротивления приводит к уменьшению частоты колебаний

. (12)

Кроме коэффициента затухания , используется еще один параметр – логарифмический декремент затухания, характеризующий изменение амплитуды колебаний за время, равное одному периоду:

. (13)

Получение незатухающих колебаний. Резонанс

Наиболее важными для практического применения являются незатухающие (вынужденные) колебания, получаемые при включении в контур э. д. с. (см. рис.5), которая изменяется по гармоническому закону:

. (14)

В этом случае, пользуясь вторым правилом Кирхгофа, можно получить уравнение

(15)

Решение этого уравнения дает функцию, описывающую вынужденные колебания заряда с частотой, равной частоте переменной э. д. с., :

, (16)

где

. (17)

Соответственно,

(18)

и

. (19)

Здесь

(20)

Как видно из (20), амплитудное значение силы тока (I_m) можно определить по закону Ома через амплитуду э.д.с. и полное сопротивление контура (импеданс) Z. Величина Z зависит от активного сопротивления R, емкостного и индуктивногосопротивлений:

. (21)

Величина называется реактивным сопротивлением контура.

Из равенства (21) видно, что полное сопротивление контура принимает минимальное значение при, что имеет место, если

. (22)

Согласно (20) амплитудное значение силы тока при этом достигает максимума

(23)

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний силы тока, (или напряжения), наблюдаемое при , называется явлением резонанса. Частотаназывается резонансной частотой для тока. Отметим, что резонансная частота для напряжения на конденсаторе равна.

График зависимости (или) от частоты внешней э.д.с.,называется резонансной кривой. Форма резонансной кривой зависит от величины активного сопротивления: чем меньшеR, тем выше и острее максимум резонансной кривой (рис. 6).