Постановка и основные методы решения некоторых задач обоснования решений

Теперь, после того как мы кратко охарактеризовали основные этапы процес­са обоснования решений и сформулировали вербальные постановки основных задач, необходимо придать количественную обусловленность этому процессу. Напомним, что постановкой задачи мы назвали специальное высказывание (вербальное или формальное), состоящее из двух упорядоченных частей: первая часть - это информация о том, что дано, а вторая - о том, что требуется найти или определить. Содержания основных форм обеих постановок задач представ­лены на рис. 3.1.

Чем качественно разнятся эти две формы постановки задач?

Вербальная постановка задачи удобна для целостного представления о под­ходах к решению проблемы. Она незаменима на этапе интерпретации рекомен­даций, полученных .формальными методами, и окончательного принятия решения. Формальная постановка задачи - это исходный пункт для выбора наиболее предпочтительного алгоритмического метода из известных классов математиче­ских методов получения оптимального решения задачи. Процедура формализа­ции вербальной задачи в общем случае включает такие естественные шаги, как введение обозначений (вводятся символы и идентификаторы, обозначающие элементы проблемной ситуации), выбор факторов, обозначающих результаты (вводятся результаты, устанавливаются направления предпочтений на них), по­строение целевой функции на результатах (если возможно, то среди результатов выбирается релевантный по предпочтению, если нет - на результатах строится функция ценности или полезности), формулировка ограничений задачи (запи­сывается система равенств, неравенств и логических условий, моделирующая условия достижения цели и действие объективных законов), формулировка за­дачи математического программирования.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ВЕРБАЛЬНАЯ

(содержательная)

Дано:

цель: что, к какому сроку, кому, где сделать

условия: активные ресурсы, обстановка, ограничения на порядок использования ресурсов

Найти:

возможные и наилучшие способы решения проблемы

ФОРМАЛЬНАЯ

(математическая)

Дано

целевая функция, переменные и параметры, моделирующие предпочтения ЛРП, ограничения на переменные и параметры, требуемый тип экстремума

Найти:

совокупность значений переменных, доставляющих заданный экстремум функции

Формализация

Интерпретация

Рис. 3.1. Содержание основных форм постановок задач

На наш взгляд, следование такому порядку формализации вербальной задачи позволяет придать процессу разработки математической постановки задачи ло­гическую стройность, а также обеспечить ЛПР или исследователю возможность рационально концентрировать внимание на сущности каждого из этих логиче­ски обусловленных шагов.

Рассмотрим постановки и методы решения наиболее важных задач обоснова­ния решений.

Задача измерения

Уже не секрет, что наибольших успехов в росте уровня энерговооруженно­сти, уровня удовлетворения жизненных потребностей, уровня своего общего развития человечество добилось исключительно благодаря внедрению в практи­ку идеи разделения труда. Главным условием реализации этой идеи, конечно же, было наделение наиболее выдающихся личностей специальными полномочия­ми. Общество делегировало таким людям - лицам, принимающим решения, право распоряжаться активными ресурсами (включая жизнь самих членов обще­ства) взамен признания права лидерства и закрепления за ЛПР обязанности от­ветить всем самым дорогим за тяжелые последствия неверно принятых реше­ний. При этом от ЛПР не требовалось, чтобы оно само пахало или сеяло, ковало металл или воевало. Не требовалось даже, чтобы оно вообще умело эго делать. На ЛПР возлагалась только одна "простая задача": по мельчайшим признакам своевременно улавливать моменты возникновения проблем, а затем как можно более быстро и точно определять, что эти проблемы собой представляют. Затем ЛПР следовало побыстрее и поподробнее разобраться в проблеме и, установив, что о ней известно, когда она возникла, какие этапы в своем развитии прошла, чем она является сейчас, что еще нужно узнать о ней. немедленно распорядить­ся о сборе информации. Здесь главное - быстро собрать необходимые данные неведения о степени благоприятности внутренней и внешней обстановки для решения проблемы и отдать распоряжения о подготовке к действиям в пред­стоящей операции.

Только хорошо уяснив, какие из условий благоприятствуют, а какие - меша­ют решению проблемы, ЛПР вырабатывало решение. Затем ЛПР специальным образом оформляло решение, чтобы придать решению юридическую силу. На­конец, ЛПР обеспечивало доведение решения до исполнителей, организовывало необходимое обеспечение (материальное, финансовое, информационное и т. п.) и взаимодействие в ходе операции.

Из сказанного следует, что ЛПР - это своеобразная "машина по переработке информации". ЛПР только тем и занимается, что все время собирает информа­цию о текущих и перспективных проблемах, определяет, какая информация не­обходима для решения тех или иных проблем, лично и через помощников обра­батывает информацию и превращает ее в решение, то есть в информацию для исполнителей — кому, что, где, когда и с помощью чего сделать. Другими сло­вами, главная функция ЛПР - информационная; главный исходный рабочий ма­териал ("сырье") - факты, события, сведения, данные, относящиеся к решаемой проблеме; главный "продукт деятельности" ЛПР - указания для исполнителей; побочный продукт деятельности ЛПР - выводы и рекомендации по итогам оценки фактически достигнутых результатов, новые знания на будущее (также особая форма информации).

Таким образом, формально деятельность ЛПР может быть представлена как непрерывное решение, по сути, только одной задачи - задачи получения, обра­ботки и представления информации.

Решать эту задачу нужно как можно более эффективно, то есть с возможно большим качеством при заданных ограничениях на затраты или, наоборот, с наименьшими затратами при условии удовлетворения требований к качеству.

Разумеется, лучше всего получить не просто рекомендации, а научно обосно­ванный ответ на поставленный вопрос об эффективности решения, а наука, как известно, начинается там, где начинают измерять.

В этой связи целесообразно прежде всего рассмотреть постановку и основ­ные методы решения задачи измерения.

К числу наиболее важных "свойств" любой проблемы можно отнести ее зна­чимость (количество других проблем, порожденных, обусловленных этой про­блемой), временную, информационную и материальную обеспеченность реше­ния (возможность задействовать собственные или привлечь внешние ресурсы для ее решения), срочность (как скоро проблему требуется решить) и др.

Каждое из этих свойств является проявлением определенных взаимоотноше­ний между элементами системы, которой руководит ЛПР, и элементами окру­жающего мира, реальной действительностью. Эти элементы и эти отношения требуется соизмерить, то есть представить в упрощенном, модельном виде, удобном для принятия решений. В зависимости от того, какая информация о проблемной ситуации имеется, возможности измерения "свойств" проблемы различны.

В гл. 2 мы уже рассматривали вербальное определение шкал и кратко описа­ли "потребительские" свойства основных типов шкал. Из анализа вербального описания следует, что измерить одну и ту же характеристику какого-то объекта можно с использованием разных шкал. При этом эффект измерения в различных шкалах (то есть качество полученных результатов и затраты на их получение) будет различным. Следовательно, для осмысленного, рационального выбора способа измерения следует глубже разобраться в свойствах разных типов шкал.

Поскольку эффективность любой операции, в том числе и операции измере­ния, главным образом оценивается критериями качества и затрат, для формиро­вания постановки задачи используем именно эти главные критерии. Разумеется, что подобные постановки задачи измерения как задачи выбора наилучшего пла­на действий будут различными для различных целевых акцентов эффективности его реализации.

Так, при целевом акценте на качества задача измерения формулируется как задача оптимизации критерия качества измерения при ограничениях на суммарные затраты на реализацию плана измерения; при целевом акценте на затраты задача измерения формулируется как задача минимизации затрат на реализацию плана проведения измерений при обеспечении требуемого качества получаемых результатов.

Выбор наилучшего плана проведения измерений из множества допустимых планов предполагает, что вначале должны быть рассмотрены все возможные планы измерения. Для описания всех возможных планов измерения воспользу­емся представлением о том, что существующая объективная реальность может быть представлена формально, то есть моделью вида [4]:

S_э={D, Rэ}, (3.1)

где S₃ - эмпирическая система с отношениями;

D — рассматриваемые элементы системы из реальной действительности;

Rэ - множество соотношений между элементами реальной действительно­сти и их характеристиками.

Для измерения остается лишь преобразовать эмпирическую систему 5_Э с от­ношениями в еще более абстрактную форму - в числовую систему S с формаль­ными элементами (числами) из множества X и специально подобранным отно­шением R между этими числами:

S={X,R]. (3.2)

Сделаем это так, чтобы система S была гомоморфным отображением систе­мы S_э.

Целенаправленный процесс получения информации об эмпирической систе­ме с отношениями и трансформации ее в элементы числовой системы с отноше­ниями как раз и называют измерением.

Введя понятие измерения на качественном уровне, все же следует заметить, что оно по-разному интерпретируется в физической и социальной областях. Так, в [4] подчеркивается, что "физическое измерение относится к реальным объек­там, первоначально не зависящим от познающего субъекта, "что измерить физи­ческую величину означает сравнить ее с определенным количеством однород­ной величины, выбранной в качестве единицы, используя соответствующее из­мерительное устройство, любое физическое измерение можно практически све­сти к измерению длины", "все измерения сводятся к приписыванию некоего числа, совпадению стрелки измерительного прибора и риски на его шкале". Именно так поступают при подсчете финансовых прибылей, энергетических и временных затрат и т. п. Далее в этой же монографии отмечается, что в отли­чие от физического измерения внефизическое, социальное измерение, "концеп­туально и операционально связано с человеком, точнее говоря, с такими его субъективными свойствами, как, например, эмоции, установки, желания и т. д., иначе говоря, с такими его свойствами, которые в принципе не поддают­ся измерению".

Концепцию социального измерения автор монографии характеризует сле­дующим высказыванием: "В самом широком смысле слова измерение можно трактовать как классификацию объектов или явлений, при которой каждой оп­ределенной группе приписывается определенный знак (цифра, буква, слово и т. д.)... чтобы сравнить эти объекты с другим рядом объектов, измеряемых по­добным же образом".

Таким образом, для реализации гомоморфного отображения эмпирической системы 5₃ согласно выражению (3.1) в числовую систему S согласно выраже­нию (3.2) каждому элементу d € D поставим в соответствие число х € X такое, что, сравнивая числа из множества X по отношению R, можно будет делать аде­кватные выводы об истинной взаимосвязи (по эмпирическому отношению Rэ) между элементами d из множества D. Формально это выглядит так:

W: D -> X | {dj f dj <==>x(di) > x(dj), di ~ dj <==>x(di) = x(dj)}. (3.3)

Содержательно смысл выражения (3.3), описывающего операцию W, в том, что мы какие-то сравниваемые нами объекты d заменяем их модельными образ­ами, а именно числами, и делаем это так, чтобы при сравнении чисел x(d) между собой мы могли в отношении объектов делать те же выводы и суждения, как если бы мы сравнивали сами объекты. Важно также и то, что соотношение (3.3) в сравнениях между объектами и в сравнениях между числами "двустороннее" (на это указывает знак двойной импликации в выражении).

Оказывается отображение W, удовлетворяющее указанному свойству, можно выполнить не единственным образом.

Пусть, например, имеем две шкалы { S_Э, S, W1} и { S„ S, W2} с разными ото­бражениями W1 и W2.Тогда в результате измерения одного и того же элемента d будут получены два разных результата - числовые значения x1 = W1 (d) и хг -= W2 (d) соответственно. Например, в известном детском мультфильме длину одного и того же удава измеряли в мартышках и попугаях. При этом, естествен­но, "в попугаях удав значительно длиннее". Если теперь для двух рассматриваемых нами шкал найдется некоторая функция ф, такая, что всегда выполняется соотношение вида xj = ср (х₂), то есть значения одной шкалы однозначно пересчитываются в значения другой, то такую функцию будем называть допусти­мым преобразованием шкалы.

Оказывается, для введенных нами вербально типов шкал (см. гл. 2: номи­нальная, ранговая, интервальная, отношений и абсолютная шкалы) существуют разные допустимые преобразования, то есть разные классы функций ф, обеспе­чивающих однозначный пересчет оценок х_} и х₂ в шкале одного рассматривае­мого типа.

Это обстоятельство позволяет строго(формально) оценивать степень совер­шенства той или иной шкалы в отношении точности оценивания измеряемых свойств объектов. При этом за степень совершенства шкалы принимают широту класса допустимых преобразований шкалы, а именно: чем класс допустимых преобразований шире, тем шкала менее совершенна.

При таком подходе наименее совершенной следует считать номинальную (или классификационную) шкалу, поскольку при использовании подобных шкал допустима любая замена чисел для обозначения номинаций (классов), лишь бы это было взаимно-однозначное преобразование и каждая номинация получила бы свое уникальное число. Другими словами, множество допустимых преобра­зований номинальной шкалы - это множество всех взаимно-однозначных функ­ций. Класс подобных функций чрезвычайно широк, и, следовательно, номи­нальная шкала наименее совершенна. Наиболее часто встречающимся примером измерения в номинальной шкале являются ответы на вопросы анкет: гражданство, пол, национальность, образование, семейное положение, наличие детей и т. п.

Порядковые (или ранговые) шкалы используют для формального описания и измерения отношений упорядочение между объектами в отношении какого-то общего для них свойства или требования (цели). Такие шкалы позволяют путем сравнения значений приписываемых объектам чисел установить, что один объ­ект лучше, важнее, предпочтительнее другого или равноценен ему. В то же вре­мя, порядковая шкала отражает лишь порядок следования объектов друг за дру­гом в отношении рассматриваемого свойства и не дает возможности ответить на вопрос, на сколько или во сколько раз один объект "предрасположеннее" друго­го в отношении этого свойства. Иными словами, в этой шкале нельзя опреде­лить меру степени упорядоченности.

Множество допустимых преобразований ранговой шкалы составляют все монотонные функции, которые являются подклассом предыдущего класса. Та­ким образом, ранговые шкалы более совершенны, чем номинальные. Техниче­скими примерами измерения в порядковых шкалах могут служить шкалы твердостей минералов. Так, в шкалах Моса и Брейтгаупта числами в возрастающем Порядке обозначены все минералы, расположенные так, что каждый последую­щий способен оставить царапину на предыдущем. Крайними в этом упорядо­ченном ряду являются тальк и алмаз. Типичными экономическими примерами измерения объектов в ранговой шкале являются индексы ведущих фондовых бирж (DJIA, NASDAQ, FTSE-100, NIKKEI-225, DOW JONES и др.), а также рейтинги коммерческих фирм на рынках продаж товаров и услуг.

Шкала интервалов (интервальная) применяется для отображения величины различия между характеристиками объектов. Она позволяет указать, насколько один объект отличается от другого в принятых единицах измерения. Интерваль­ная шкала может иметь произвольные начало отсчета и масштаб. Множество допустимых преобразований данной шкалы составляют все линейные преобра­зования. Основным свойством шкалы интервалов является сохранение отноше­ния длин интервалов. Примером измерения в интервальной шкале является из­мерение температуры объекта. Температура чаще всего измеряется в градусах Цельсия, Фаренгейта, Кельвина. Пересчет температуры, например, из градусов в шкале Фаренгейта (h°F) в градусы по шкале Цельсия (t°C) производится по из­вестной формуле h°F =1,8 t°C + 32. Экономический пример - объемы инвести­ций на рынке недвижимости Москвы: не имеет значения, в какой валюте они рассчитываются, важно, что получаются одинаковыми отношения величин раз­ностей объемов (сумм) инвестиций на разных сегментах рынка недвижимости.

Частными случаями шкалы интервалов являются шкала отношений (нулевое начало отсчета) и шкала разностей (произвольное начало отсчета и единичный масштаб), а также абсолютная шкала (нулевое начало отсчета и единичный масштаб измерения). Примером измерения в шкале отношений (в "относитель­ной шкале") является измерение стоимости товара. Если единица товара А стоит W(A) рубл, а единица товара В стоит W(B) рубл., то молено сказать, что товар А дороже или дешевле товара В в W(A)/W(B) раз. Если оценивать стоимость то­варов с долларах США или немецких марках, то стоимости товаров изменятся, но их отношение останется равным прежней величине. Однако всякое другое преобразование функции W, не являющееся умножением на постоянную поло­жительную константу (например, курс рубля), может привести к изменению ис­ходного отношения. Например, если применить преобразование типа отношения квадратов, то есть подсчитать величину W²(A)/W²(B), то окажется, что И^(Л)/1У²(5) Ф W(A)/W(B); то есть это будет уже недопустимым преобразованием.

Примерами критериев, имеющих абсолютные шкалы, могут служить количе­ство проданного товара, количество цехов на предприятии, число сотрудников в фирме и т. д. Абсолютная шкала не допускает никаких преобразований типа умножения на константу или добавления константы. В этом смысле абсолютная шкала считается самой совершенной.

Номинальная и порядковая шкалы относятся к качественным шкалам. Шка­лы интервалов, отношений, разностей и абсолютная относятся к количествен­ным шкалам, которые позволяют устанавливать количественные соотношения между объектами.

Итак, в зависимости от существа или важности того или иного объекта и его характеристик могут быть использованы разные шкалы. Однако при выборе шкалы необходимо учитывать, какие действия в дальнейшем предполагается производить с оценками в выбранной шкале. Осмысленные арифметические дей­ствия можно производить лишь над оценками, имеющими количественную шка­лу. Для количественных шкал справедливы аксиомы арифметики. Самой со­вершенной является абсолютная шкала, наименее совершенной - номинальная.

Важное место в проблеме описания неопределенных факторов занимает за­дача измерения свойств и отношений, носящих ярко выраженный вербальный характер. Например, может потребоваться формализовать описание факторов, которые вербально различаются по важности ("существенный", "важный", "не­существенный"), ввести в математическую модель информацию об интенсивно­сти каких-либо действий ("слегка нажать на педаль", "сдвинуть руль чуть-чуть вправо", "резко увеличить напряжение") и т. п. Более того, субъективные пред­ставления ЛПР о цели, исходах операции, как правило, нечетки, так как человек часто пользуется расплывчатыми категориями, то есть такими характеристика­ми свойств объектов проблемной ситуации, которые представлены в субъектив­ной качественной форме. Конечно, в каждом конкретном случае для таких каче­ственных характеристик, вообще говоря, можно ввести количественную шкалу, но это не всегда помогает делу. Во-первых, из-за того, что такое шкалирование не всегда возможно. Во-вторых, оно не дает достаточно адекватного представ­ления исходной информации. Описание такой качественной субъективной ин­формации (точнее, неопределенностей типа "много", "мало", "высокий", "очень эффективный") на языке традиционной математики невозможно и это сущест­венно обедняет существующие математические модели.

Средством для описания и формализации подобной качественной информа­ции является теория нечетких (расплывчатых, размытых) множеств, связанная с именем Л. А. Заде. Рассмотрим основные определения и понятия нечетких мно­жеств [4]. Пусть D есть некоторое универсальное множество. Для любого объ­екта d из множества D рассматриваются лишь две возможности: либо этот объ­ект принадлежит к некоторому подмножеству F объектов, связанных общим свойством, либо не принадлежит к нему. Для выражения этой принадлежности можно использовать функцию/, определяемую по правилу:

f(d) = l, если d принадлежит к F;

0, если d не принадлежит к F.

Представим теперь, что функция f(d) может принимать любое значение из интервала [0, 1]. В соответствии с этим объект d множества D может не принад­лежать к F (то есть f(d) = 0), может быть объектом F в небольшой степени (зна­чение функции f(d) близко к нулю), может в значительной степени быть объек­том (значение f(d) близко к единице) или, без сомнения, может считаться эле­ментом F (то есть f(d) = 1). В качестве интерпретации значений f(d) функции Принадлежности чаще всего рассматривают субъективные вероятности (индивидуальная степень уверенности субъекта в чем-либо) наступления некоторых событий (например, субъективная вероятность такого события: «в будущем летнем сезоне в моде будет стиль сафари") или долю экспертов, согласных с тем или иным суждением (например: "0,7 от приглашенной группы экспертов счи­тают, что спрос на видеоаппаратуру Sony в России в 2001 г останется высоким, а 0,3 от числа опрошенных экспертов считают, что уровень спроса таковым не

будет").

Определение. Нечетким подмножеством (событием) F универсального множества D называется совокупность упорядоченных пар вида (d, f(d)), в кото­рых каждому элементу d e D ставится в соответствие значение f(d) функции принадлежности к нечеткому подмножеству F.

При таком определении обычные подмножества составляют лишь подкласс класса нечетких подмножеств.

Следует иметь в виду, что формальная интерпретация вербальных оценок и неопределенностей связана с использованием таких сложных понятий, как вероятность, возможность, необходимость, нечеткость, каждое из которых, об­ладая собственной смысловой нагрузкой, предполагает и собственный подход к решению задачи измерения