27. Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова

пространства.

1 вариант. Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и zиз L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

2 вариант. Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция  обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов  и для любых вещественных чисел  и 

• Симметричность: для любых векторов 

• Положительная определённость: для любого  причём 

28. Существование ортогонального базиса из собственных

векторов симметрического оператора

Линейный оператор  называется симметрическим, если для любых векторов  выполняется .

Перечислим основные свойства симметрического линейного оператора: 1. Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе симметрична. 2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 3.Всякому собственному числу кратности k симметрического оператора соответствует линейно независимая система из k собственных векторов. 4.Для всякого симметрического линейного оператора существует базис в пространстве, состоящий из его собственных векторов

29. Норма оператора. Норма симметрического оператора.

Норма оператора  — число, которое определяется, как:

,

где  — оператор, действующий из нормированного пространства  в нормированное пространство .

Это определение эквивалентно следующему:

• Свойства операторных норм:

1. , причём  только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

30. Приведение квадратичной формы ортогональным

преобразованием к главным осям

Рассмотрим квадратичную форму . Матрица A является симметричной. Линейное преобразование, заданное матрицей A, является самосопряженным и для этого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Другими словами, найдется ортогональная матрица T (), что , где - собственные числа A. Поскольку , то квадратичная форма ортогональной заменой переходит в форму. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием называется приведением к главным осям.