1. Линейным Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

2. Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X.

Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.

A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.

3. Матрица A = {a_ij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей.

Для экзамена

1. Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств

Два линейных пространства  и  называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:

1) сумме векторов пространства  соответствует сумма соответствующих векторов пространства 

2) произведению числа на вектор пространства  соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства 

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции

2. Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.

Пусть векторы , ... ,  образуют базис пространства V, а векторы  , , ... ,   - другой базис этого пространства. Каждый вектор  разлагается по базису , ... , . Запишем эти разложения в виде системы равенств

                                 = +  + ... + ,

                                =  +  + ... + ,

                                 ............................................

                                =  +  + ... +                         (2)

или, кратко,

                                                   = 

(суммирование по первому индексу коэффициентов ).

Коэффициенты  разложений (2) образуют матрицу T перехода от базиса , ... ,  к базису  , , ... , .

3. Линейные подпространства, размерность линейной оболочки,

способы задания линейного подпространства

Множество K векторов из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух векторов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого числа α и любого вектора x и y из L принадлежит K:

Размерность линейной оболочки столбцов (строк) матрицы равна рангу матрицы.

Линейные подпространства могут быть заданы двумя способами: или однородной системой линейных уравнений илилинейной оболочной.

4. Формула для размерности суммы двух подпространств

Теорема о размерности суммы двух линейных подпространств (формула Грассмана). Если U и V – подпространства линейного пространства W, то

dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ).

5. Прямая сумма подпространств, различные определения

Определение 1 Пространство V называется прямой суммой подпространств U и W, если каждый элемент v ∈ V мо жет быть единственным способом представлен в виде суммы v = u + w, где u ∈ U, а w ∈ W. Обозначение: V = U ⊕ W. Эквивалентная формули- ровка: V = U ⊕ W, если V = U + W и U ∩ V = ∅. Если V = U ⊕ W, то объединение базисов подпространств U и W есть базис пространства V .

Определение 2 Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Сумма подпространств  называется прямой суммой, если , существует только одна пара векторов , такая, что .

6. Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.

Линейным отображением векторного пространства S в векторное пространство T называется функция α, определенная на S со значениями а T,удовлетворяющая требованию линейности

Ядром линейного отображения L : U → V называется множество всех тех элементов x пространства U, для которых L(x) = 0 (т. е. ядро линейного оператора – это пространство решений уравнения L(x) = 0). Обозначение: Ker L

Образом линейного отображения Образом линейного оператора L : U → V называется множество всех элементов y пространства V , представимых в виде y = L(x). Образ обозначается через Im L. Другими словами

Im L = {L(x)| x ∈ V }