17. Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство

Сопряженное пространство

Для линейных функционалов на линейном пространстве  можно определить операции сложения и умножения на число:

• 

• 

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на  также образует линейное пространство. Это пространство называетсясопряжённым к , оно обычно обозначается . В конечномерном случае сопряжённое пространство  имеет ту же размерность что и пространство . Обычно элементы пространства  обозначают вектором-строкой, а элементы  — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение  для элементов  (верхний, или контравариантный индекс) и  для элементов (нижний, или ковариантный индекс).

Верно также что пространство, сопряжённое к сопряжённому , совпадает с .

Второе сопряженное пространство

ВТОРОЕ СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО - пространство X'', сопряженное к пространству X', сопряженному к отделимому локально выпуклому пространству X, наделенному сильной топологией. Каждый элемент х ∈ Х порождает элемент F ∈ X'' по формуле F(f) = f(x) (f ∈ X'). Если X'' = X, то пространство X наз. рефлексивным. Если X - бочечное пространство, то линейное отображение π : x → F является изоморфным вложением пространства X в пространство X'', наделенное сильной топологией. Вложение π наз. каноническим. Для нормированных пространств π есть изометрическое вложение.

Дуальный базис

ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС, дуальный базис, к базису {е₁, ..., е_n} модуля Е относительно формы f - такой базис {c₁, ..., c_n} модуля Е, что

f(e_i, c_i) = 1, f(e_i, c_j) = 0, i ≠ j, 1 ≤ i, j ≥ n,

18. Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе

к новому базису.

Билинейной формой называется функция B : V × V → F, удовлетворяющее свойствам B(αu + βv, w) = αB(u, w) + βB(v, w) и B(w, αu + βv) = αB(w, u) + βB(w, v). Билинейная форма B называется симметричной, если B(u, v) = B(v, u) для любых u, v ∈ V .

19. Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к

диагональному виду.

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов  при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать  (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

где , а через  обозначены все остальные слагаемые.  представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что 

Второй случай заменой переменных  сводится к первому.

Приведение квадратичной формы к диагональному виду. Пусть Q квадратичная форма на линейном пространстве V (над произ- вольным полем, в котором 1 + 1 6= 0). Существует базис, в котором мат- рица квадратичной формы Q диагональна.