4. Ход работы

1. Получите n1_i иn2_iизN(5;1), – две серии случайных чисел, распределенных по нормальному закону, с математическим ожиданием равным 5, и дисперсией 1 (для этого выполните шаги п.2 или п.3, лабораторной работы № 1). Размерность серий может быть произвольной, необязательно одинаковой.

2. Выполните расчет двухвыборочного F-теста для дисперсий, используя одноименный инструмент надстройки Анализ данных (см. рис. 4.1).

Примерный вид результатов работы надстройки «Двухвыборочный F-тест для дисперсий» представлен на рис. 4.2.

Рис. 4.1. Двухвыборочный F-тест для дисперсий

3. Проверьте гипотезу =о равенстве дисперсий в серияхn1 иn2 по таблице значений параметров надстройки «ДвухвыборочныйF-тест для дисперсий» (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Примерный результат расчета F-теста

• Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейках В35 и С35 по формулам =В34-1 и =С34-1 соответственно.

• Значение критерия Fвычисляется в ячейке В36 по формуле=В33/С33, где в ячейках В33 и С33 рассчитываются оценки дисперсии с помощью функции ДИСП (сведения о функции ДИСП см. в лаб. работе № 1). Это соответствует формуле (4.3). В случае, когда при расчете двухвыборочного F-теста для дисперсий в качестве интервала переменной 1 (рис. 4.1) выбирается выборка с меньшей дисперсией, то для соответствия с формулой (4.3) необходимо найти значение F, обратное вычисленному в ячейке В36.

• Значение Р(F=f) показывает уровень значимости, при котором значениеFстановится критическим.

• Значение показателя Fкритическое одностороннее определяется в ячейке В38 по формуле =FРАСПОБР(1-0,05;В35;С35), которая рассчитывает обратноеF-распределение. Функция используется в ситуациях, когда известен уровень надежности (или уровень значимости) и необходимо рассчитать значениеF-критерия. Первый аргумент – вероятность, соответствующая двустороннему F-распределению (уровень значимости . Второй аргумент – число степеней свободы для первой выборкиn1. Третий аргумент – число степеней свободы для второй выборки n2. Замечания: если вероятность < 0 или вероятность > 1, то функция FРАСПОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!; если степени_свободы1 или степени_свободы2 не целое число, то оно усекается; функция FРАСПОБР использует метод итераций для вычисления значения и производит вычисления, пока не получит результат с точностью  310^-7. Если результат не сходится после 100 итераций, то функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

• Можно получить двустороннюю оценку F_кр., используя функцию FРАСПОБР при уровне значимости 0,025. Тогда формула =FРАСПОБР (1-0,025; В35; С35) рассчитает значение левосторонней критической точки =0,43555736, а формула =FРАСПОБР(0,025; В35; С35) – значение правосторонней критической точки =2,331503879. Таким образом, при двусторонней оценке получим критическую область как объединение двух интервалов . Однако и в случае двусторонних оценок значение критерияF не принадлежит ни одному критическому интервалу, следовательно, гипотеза принимается.

• Сравните расчетное значение Fс параметромFкритическое одностороннее по формуле (4.3), еслиFF_кр., гипотезатакже принимается.

• Для расчета значения параметра Р(F<=f) одностороннее в ячейке В37 (рис.4.2) можно использовать следующие функции, родственные режиму «ДвухвыборочныйF-тест для дисперсий».

Функция FРАСП

Синтаксис:

FРАСП(х; степени_свободы1; степени_свободы2)

Рассчитывает значение вероятности F-распределения (распределения Фишера). Х – значение, для которого вычисляетсяF-распределение. Степени_свободы1 – число степеней свободы для первой выборкиn1. Степени_свободы2 – число степеней свободы для второй выборкиn2.

Замечания:

• если какой-либо аргумент не является числом, то функция FРАСПвозвращает значение ошибки #ЗНАЧ!;

• если аргумент степени_свободы1илистепени_свободы2не целое число, то оно усекается;

• если аргумент степени_свободы1 или степени_свободы2 меньше 1 или больше 10¹⁰, то функция FРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Распределение Фишера (оно иногда называется распределением Снедеко­ра, Снедекора–Фишера, Фишера–Снедекора или распределением дисперсионного отношения) – это распределение случайной величины в виде отношения двух независимых случайных величин , каждая из которых имеет распре­деление, где– число степеней свободы. Связь между-распре­де­лением и распределением, таким образом, дается формулой:

.

распределение Фишера со степенями свободы и. На практике чаще применяется функцияFРАСПОБР.

Функция ФТЕСТ

Синтаксис:

ФТЕСТ(массив1; массив2)

Рассчитывает для двух выборочных массивов данных двустороннее-значениеF-теста. Массив1 – первая выборка данных. Массив2 – вторая выборка данных.

Замечания:

• аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа;

• если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текстовые значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки с нулевыми значениями учитываются;

• если количество точек данных в аргументе массив1илимассив2меньше 2 или если дисперсия аргументамассив1илимассив2равна 0, то функцияФТЕСТвозвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.

Для наших данных (рис. 5.2) Р(F<=f) одностороннее в ячейке В77 рассчитывается по формуле =ФТЕСТ(A43:B62;C43:C67)/2¹, которая оказывается адекватна формуле =FРАСП(F49;F48;G48)².

4. Если дисперсии в сериях одинаковы, проверим однородность серий по формуле (4.1). Для этого воспользуемся режимом «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» надстройки Анализ данных…Microsoft Excel (рис.4.3).

Рис. 4.3. Двухвыборочный t-тест c одинаковыми дисперсиями

Таблица значений, рассчитанных с использованием надстройки «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» представлена на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Таблица расчетных значений двухвыборочного t-теста

4. Проверьте однородность (гипотезу о равенстве математических ожиданий) серий измерений по таблице значений параметров надстройки «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (рис. 4.4).

• Значения Среднего (ячейки В47 и С47), Дисперсии (ячейки В48 и С48) рассчитываются с помощью соответствующих функций, описанных в лаб. работе № 1.

• Объединенная оценка дисперсии (ячейка В50) рассчитывается по формуле (4.2). В синтаксисе Excelформула примет следующий вид: =((B49-1)*B48+(C49-1)*C48)/(B49+C49-2).

• Число степеней свободы (показатель df) рассчитывается в ячейке В52 по формуле =B49+C49-2 как и полагается для.

• Основной показатель данной надстройки t-статистика вычисляется согласно формуле (4.1). В синтаксисе Excel формула примет следующий вид:

=ABS(B47-C47)/КОРЕНЬ(B50*(1/СЧЁТ(A3:A27)+1/СЧЁТ(B3:B25)))

Здесь значения функций, применяемых в формуле интуитивно понятны. В случае сомнений см. Справочную систему Excel. ДиапазоныA3:A27 иB3:B25 содержат значения первой и второй выборок соответственно.

• Модуль значения tкритического двустороннего вычисляется в ячейке В57 по формуле =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;B52). Сведения по функцииСТЬЮДРАСПОБРможно найти в лаб. работе № 2.

• Для расчета значения одностороннего (ячейка В54) и двустороннего (ячейка В56) -значенияt-теста можно использовать функциюТТЕСТ, родственную режиму «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (рис. 4.4).

Функция ТТЕСТ

Синтаксис:

ТТЕСТ(массив1; массив2; хвосты; тип)

Возвращает вероятность, соответствующую критерию Стьюдента. Функция ТТЕСТиспользуется, чтобы определить, насколько вероятно, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, которые имеют одно и то же среднее.Массив1– первое множество данных.Массив2– второе множество данных.Хвосты– число хвостов распределения. Если хвосты = 1, то функцияТТЕСТиспользует одностороннее распределение. Если хвосты = 2, то функцияТТЕСТиспользует двустороннее распределение.Тип– вид исполняемого t-теста.

Замечания:

• Если массив1 и массив2 имеют различное число точек данных, а тип = 1 (парный), то функция ТТЕСТвозвращает значение ошибки #Н/Д.

• Аргументы хвосты и тип усекаются до целых.

• Если хвосты или тип не является числом, то функция ТТЕСТвозвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если хвосты имеет значение, отличное от 1 и 2, то функция ТТЕСТвозвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Для случая равных дисперсий P(T<=t) одностороннее (ячейка В54 рис. 4.4) вычисляется по формуле

=ТТЕСТ(A3:A27;B3:B25;1;2),

которая адекватна формуле

=СТЬЮДРАСП(B53;B52;1),

а P(T<=t) двустороннее (ячейка В56 рис. 4.4) вычисляется по формуле

=ТТЕСТ(A3:A27;B3:B25;2;2),

которая адекватна формуле

=СТЬЮДРАСП(B53;B52;2).

Функция СТЬЮДРАСП возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента, а численное значение (аргумент В53) – это вычисленное значение, для которого должны быть вычислены вероятности. Данную функцию можно использовать вместо таблицы критических значений t-распределения.

• Сравните значение t-статистики = 0,455858321612874 с t критическим односторонним или двусторонним. Для выполнения гипотезыкритическая область образуется объединением интервалов. Так как условие (4.1) выполняется, т.е. значениеt-статистики не попадает ни в один критический интервал, то гипотезуо равенстве математических ожиданий принимаем.