Posob_k_Rgr_N2-1

- 20 -

часовой стрелки. Одна из полученных таким образом осей является осью

инерции относительно оси минимум).

Главные оси обычно обозначают: ось максимум (ось максимального момента) − u, ось минимум (ось минимального осевого момента инер- ции) − v. Таким образом Iu = Imax , Iv = Imin .

2.4. Вычисление моментов инерции поперечных сечений простой формы

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 2.4а):

Осевой момент инерции круга (рис. 2.4б):

Iz = Iy = πd 4 . 64

Осевой момент инерции кругового кольца (рис. 2.4в):

- 21 -

Iz = Iy = 64π (D4 - d4 ) .

Осевой момент инерции коробчатого сечения (рис. 2.4г):

2.5. Определение геометрических характеристик поперечного сечения. Пример решения задачи

Задание. Вычислить главные моменты инерции составного сечения. Исходные данные. Составное сечение представляет собой набор из

В приведенных выше формулах и везде далее верхние и нижние ин- дексы 1,2,3 относятся соответственно к равнополочному уголку, двутавру и прямоугольнику, а все входящие величины берутся из соответствующих таблиц приложения.

2. Определим статический момент каждого элемента относительно осей yz общей системы координат :

Sz(1) = F1 × a1 =10,7 × 3,42 = 36,59 см3; Sz(2) = F2 × a2 =14,7 × 4,6 = 67,62 см3;

Sz(3) = F3 × a3 = 24 ×1,4 × 0,7 = 23,52см3; Sy(1) = F1 ׉1 =10,7 ×14,02 =150,01см3; Sy(2) = F2 ׉2 =14,7 × 6 = 88,2 см3; Sy(3) = F3 ׉3 = 24 ×1,4 ×12 = 403,2 см3.

3. Определим статический момент составного сечения относительно общей системы координат yz как сумму статических моментов

составляющих его элементов :

- 22 -

Sz = Sz(1) + Sz(2) + Sz(3) = 36,59 + 67,62 + 23,52 =127,73 см3;

Sy = S y(1) + S y(2) + Sy(3) =150,01 + 88,2 + 403,2 = 641,41см3.

Рис.2.5 4. Определим положение центра тяжести составного сечения в

5. Определим осевые моменты инерции составного сечения относи- тельно координатных осей yczc, проходящих через центр тяжести составного

сечения :

- 23 -

- 24 -

Iyсzс = 14,27 - 174,68 - 55,43 = -215,84 см4 .

7. Определим положение главных центральных осей инерции составно- го сечения :

2ao =10,9o ; ao =5,45o.

При выборе направления главных осей инерции для правой декартовой системы координат следует руководствоваться следующими соображениями:

если Iyсzс < 0, то главная ось, относительно которой момент инерции

имеет максимальное значение, проходит через квадранты I и III ;

если Iyсzс > 0, то главная ось, относительно которой момент инерции

имеет максимальное значение, проходит через квадранты II и IV ;

ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей ( yc или zc), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.

Для выбранных нами первоначально направлений координатных осей расположение главных центральных осей инерции составного поперечного сечения будет таким , как это показано на рис.2.5.

Для проверки правильности вычислений главных осевых моментов инерции можно использовать равенство :

Iu + Iv = Iyс + Izс ; 2508,61+ 257,82 = 2529,2 + 237,2 ;

2766,43 = 2766,43 .

-25-

2.6. Определение геометрических характеристик поперечного сечения. Задание для расчетно-графической работы

Целью работы является вычисление главных моментов инерции составного поперечного сечения.

Для данного поперечного сечения (рис. 2.6а, 2.6б) требуется:

1.Определить положение центра тяжести составного поперечного сечения относительно первоначально выбранных осей.

2.Вычислить осевые и центробежные моменты инерции составного сечения относительно центральных осей, параллельных первоначально выбранным.

3.Определить положение главных центральных осей сечения и вычислить величины главных моментов инерции составного сечения.

4.Сделать чертеж составного поперечного сечения, указав на нем основные размеры и оси инерции (графическая часть).

Исходные данные взять из таблицы; данные о прокатных профилях - согласно ГОСТу в приложении.

Таблица для выбора исходных данных к заданию

-28-

3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ БАЛКИ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

3.1. Определение перемещений при плоском изгибе

Рассматриваются случаи малых деформаций при совпадении плоскости действия изгибающих моментов с главной плоскостью балки. Ось балки до деформации − прямая; при изгибе, не удлиняясь, искривляется по кривой v = v(x) (здесь v − перемещение в направлении оси y), определяющей упругую линию балки. Прогиб v в данном сечении определяется как перемещение центра тяжести сечения по нормали к оси балки. Угол поворота сечения балки θ определяется как угол между касательной, проведенной к изогнутой оси балки в этом сечении, и недеформированной (прямой) осью балки. Упругая линия балки, исходя из ее физического смысла, представляется непрерывной и плавной кривой, т.е. дифференцируемой кривой во всех своих точках. Первая производная ее уравнения по x равна тангенсу угла наклона поперечных сечений, но так как практически углы поворота малы, то можно считать

tgθ = θ = dv dx .

При деформациях балки в пределах действия закона Гука (расматриваются только упругие дефоромации балки), величина кривизны

упругой линии балки определяется по формуле

В большинстве инженерных задач из-за малости d 2v по сравнению с dx2

единицей пользуются приближенным уравнением

EIz d 2v = Mz , dx2

которое называют основным дифференциальным уравнением изогнутой оси (упругой линии) балки.

Положительными считаются: θ при повороте сечения против хода часовой стрелки; v - при прогибе вверх.

Дифференциальные зависимости для прогибов, углов поворота, изгибающих моментов, поперечных сил и интенсивности распределенной нагрузки в сечении с координатой x определяются по формулам:

Аналитический метод определения перемещений точек оси балки состоит в последовательном интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси:

EIzq = ò Mzdx + C ; EIzv = òò Mzdx2 + Cx + D .

Здесь C и D - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. В общем случае при n участках нагружения будет 2n постоянных интегрирования.

Для упрощения задачи определения констант интегрирования при многих участках нагружения используется прием Клебша, позволяющий

добиться равенства констант интегрирования на всех участках и свести задачу к определению лишь двух из них.

Прием Клебша включает в себя следующие пункты:

1.Отсчет абцисс всех участков должен вестись от одного начала координат - крайней левой (или правой) точки оси балки, т.е. для всей балки вводиться единая глобальная система координат.

2.При записи уравнений равновесия всегда должна использоваться часть балки с началом координат.