2. Внутренние силы. Метод сечений

2.1. Внешние и внутренние силы

Внешняя сила – это мера взаимодействия между телами. В задачах сопротивления материалов внешние силы, как правило, считаются заданными. К внешним силам относятся также опорные реакции.

Внешние силы делятся на объемные и поверхностные. Объемные силы приложены к каждой частице тела по всему его объему. Примером объемных сил являются силы веса и силы инерции.

Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные. Сосредоточенными считаются силы, приложенные к поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Например, в случае мостового крана вес поднимаемого груза передается на рельсы в местах касания колес тележки. Размер зоны контакта колес с рельсом мал по сравнению с его длиной, и внешние силы (нагрузку) можно считать сосредоточенной. Однако при более строгом расчете нагрузку в зоне контакта следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только силы, но и пары сил, примером которых можно считать усилие создаваемое ключом при закручивании гайки.

Нагрузки можно разделить на статические и динамические. Статическими считаются нагрузки, в процессе приложения которых возникающие силы инерции малы и ими пренебрегают. В противном случае нагрузки считаются динамическими.

В результате действия нагрузки в теле возникают внутренние силы. Внутренняя сила – мера взаимодействия между частицами тела.

2.2. Определение внутренних усилий методом сечений

Внутренние силы являются самоуравновешенными. Поэтому их не показывают в случае рассмотрения равновесия тела. Определяются внутренние силы методом сечений.

Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии, рассекают мысленно на две части (рис. 1, а), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы¹ и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению (рис. 1, б).

Рис. 1. Определение внутренних усилий методом сечений

Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора и главного момента (рис. 1,в). Модуль и направление этих векторов неизвестны. Удобнее всего определять проекции векторов на оси х, у, z, где ось х – нормаль к сечению, у и z – оси, лежащие в плоскости сечения. Начало координат перемещают в центре тяжести сечения (рис. 1, г).

; .

Проекции векторов и носят следующие названия: N – продольная сила; Q_y и Q_z – поперечные силы соответственно вдоль осей у и z; Т – крутящий момент; М_y и М_z – изгибающие моменты соответственно вокруг осей у и z.

В общем случае определения внутренних усилий имеем шесть неизвестных, которые можно определить из шести уравнений равновесия:

2.3. Способ определения внутренних усилий и построение их эпюр

Определение внутренних усилий – это основная задача, требующая знаний и мышления, так как для каждой задачи нагрузка своеобразна, различны и способы закрепления элементов конструкций. В задачах сопротивления материалов, как правило, 80% времени тратится на определение внутренних усилий, остальные 20% идут на подстановку найденных усилий в опасном сечении в готовые расчетные формулы, по которым и определяются параметры сечений элементов конструкции.

Продольная сила N равна проекции главного вектора на ось x. Ее величину численно определяют как алгебраическую сумму проекций на эту ось всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к рассматриваемой части.

Поперечные силы Q_y, Q_z равны проекции главного вектора на оси y и z соответственно и могут быть определены как алгебраические суммы проекций на эти оси всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части.

Крутящий момент Т и изгибающие моменты M_z и M_y – проекции главного момента на оси x, y, z – соответственно. Численно каждый из них равен алгебраической сумме моментов относительно соответствующей оси всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части.

Внутренние силы и моменты в разных сечениях стержня различны. Графики, показывающие изменение внутренних усилий вдоль оси стержня, называют эпюрами. При построении эпюр придерживаются следующих правил:

– ось (базу), на которой строится эпюра, выбирают так, чтобы она была параллельна оси стержня;

– ординаты эпюры с выбранным интервалом откладывают от оси по перпендикуляру в избранном масштабе, в характерных сечениях проставляют числа, показывающие величины силового фактора;

– в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.

Для внутренних усилий вводятся правила знаков:

1. Если внешняя сила, приложенная к рассматриваемой (левой или правой) части направлена от сечения, то продольная сила N положительна.

2. Если внешняя пара сил, стремится повернуть относительно оси стержня рассматриваемую часть по часовой стрелке (при взгляде в правый торец правой части или левый торец левой части), то крутящий момент Т в сечении положителен.

3. Если внешняя сила стремится повернуть рассматриваемую часть относительно точек сечения по часовой стрелке, то поперечная сила Q в сечении положительна.

1. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий растяжение нижних слоев балки то изгибающий момент М в сечении положителен.

Графическая интерпретация изложенных правил представлена на рис. 2.

Разбив балку на участки, следует записать аналитические выражения для всех внутренних силовых факторов. Проводят в пределах каждого участка сечение и связывают с ним текущую систему координат. Рассматривая равновесие левой или правой части составляют выражения для каждого из внутренних силовых факторов, включая в эти выражения все внешние нагрузки. Знак каждого слагаемого определяют по изложенным правилам.

Рис. 2. Правила знаков для внутренних усилий

Последовательность определения внутренних силовых факторов:

1. Вычисляем реакции стержня из уравнений статики.

2. Разбиваем стержень на участки. Участком называется часть стержня между точками приложения сосредоточенных нагрузок (и опорных реакций) или часть стержня с непрерывно распределенной нагрузкой.

3. На каждом участке проводим сечение, перпендикулярное оси стержня, и записываем с помощью изложенных выше правил выражения для определения внутренних силовых факторов, учитывая всю внешнюю нагрузку и опорные реакции, расположенные по одну сторону от проведенного сечения.

4. Вычисляем внутренние силовые факторы на концах каждого участка и строим эпюры.

Построение эпюр производится на оси, параллельной оси стержня. При построении эпюр N, Q_y, Q_z, T положительные значения откладываются по перпендикуляру вверх оси, а отрицательные – вниз. При построении эпюр M_y и M_z значения изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна независимо от знака, поэтому знаки на эпюрах M_y и M_z не указываются. Штриховка эпюр производится прямыми линиями, перпендикулярными оси стержня. На эпюрах указываются численные значения внутренних силовых факторов на границах участков и в характерных точках (точках экстремума).

Если на границе участков приложены внешние сосредоточенные нагрузки, то на соответствующих эпюрах должны быть скачки (разрывы) на величину этих нагрузок. Например, если на границе участка приложена внешняя продольная сила F,то на эпюре N должен быть скачок на величину F. Аналогично, если на границе участка приложен внешний крутящий момент М, то на эпюре Т должен быть скачок на величину М, и т.д., что необходимо учитывать при проверке правильности построения эпюр.