13.2. Формула Эйлера для критической силы

Обратимся к шарнирно опертому стержню, на который действует сжимающая сила, достигая критического значения (рис. 38). Допускаем отклоненное состояние в плоскости наименьшей жесткости. При однородном материале поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение.

Рис. 38. Шарнирно опертый стержень, нагруженный сжимающей силой

Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

EI_min(d²v/dx²) = M.

Величина момента определяется по формуле

M = – F_crv.

Минус введен для согласования знаков M и v. Таким образом,

EI_min(d²v/dx²) = – F_crv,

или

(d²v/dx²) + α²v = 0,

где α² = F_cr /(EI_min).

Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

v = A cosαx +B sinαx,

где А и В – постоянные интегрирования, для определения которых используются граничные условия: 1) при x = 0, v = 0; 2) при x = l, v = 0.

Из первого условия получаем А = 0. Следовательно, v = Bsin αx. Из второго условия получаем B sinαl = 0. Следовательно, sinαl = 0. Из ряда значений αl = 0, π, 2π,…, nπ, где n – любое целое число, выбираем значение π, дающее наименьшую критическую силу.

Принимая αl = π, α²l² = π², α² = π²/ l², находим:

F_cr = (π²EI_min)/l².

Эту формулу впервые вывел Л. Эйлер в 1744 г. Постоянная В остается неопределенной вследствие принятия приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси бруса.

Вопросы для повторения

1. Что такое устойчивость?

2. Что называется критической силой?

3. Что называется гибкостью стержня? Какова размерность этой величины?

4. Какой вид имеет формула Эйлера?

5. Почему в формулу Эйлера для критической силы входит I_min?

6. Какой величиной ограничивается предел применимости формулы Эйлера?

Контрольные тесты

1. Явление потери устойчивости заключается в . . .

2. В основе вывода формулы Эйлера положено дифференциальное уравнение . . .

3. С увеличением жесткости EI поперечного сечения критическая сила …

4. С увеличением длины стержня критическая сила . . .

14. Динамическое нагружение

14.1. Движение тела с ускорением

При статическом нагружении нагрузка возрастает от нуля до конечной величины весьма медленно и можно пренебречь возникающими при этом силами инерции.

Особыми условиями динамического режима нагружения являются: 1) нарушения статического равновесия и появления сил инерции; 2) изменение механических свойств и физического закона для материала. В целях упрощения решения задачи последним обстоятельством пренебрегают. Силы инерции в деформируемом теле относятся к внешним объемным силам. Любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил (включая опорные реакции), усилий, представляющих собой действие соседних элементов, и сил инерции. Это положение носит название принципа Даламбера. Таким образом, динамическая задача сводится к составлению уравнения равновесия.

Рис. 39. Поступательное движение стержня

К простейшим динамическим задачам относится поступательное движение тела с ускорением. Предположим, что сила F двигает стержень (рис. 39) поступательно вверх с ускорением а. Тогда к любому бесконечно малому элементу стержня длинной dx и весом прикладывается сила инерциинаправленная в сторону, противоположную движению. Здесь γ – объемный вес,А – площадь сечения стержня, g – ускорение свободного падения. Согласно принципу Даламбера получаем:

Для однородного стержня постоянного сечения имеем Множительназываюткоэффициентом динамической перегрузки.

Динамическое усилие в сечении на расстоянии x от свободного конца стержня равно:

а динамическое напряжение: