9.2. Касательные напряжения

Касательные напряжения возникают в стержнях при поперечном изгибе от действия поперечной силы .

Так как при поперечном изгибе изгибающий момент является переменным по длине стержня, то рассмотрим элемент стержня длиной от действия моментови(рис. 24,а). Соответствующие нормальные напряжения на гранях этого элемента обозначим и(рис. 24,б), причем

Рис. 24. Поперечный изгиб: а – элемент стержня,

б – нормальные напряжения, в – поперечное сечение

Определим касательные напряжения в продольном сечении ab на расстоянии y от нейтральной линии mn. Для этого рассмотрим равновесие части элемента поперечное сечение которого заштриховано на рис 24,в. Буквой обозначена площадь заштрихованной части сечения.

Нормальные напряжения на левой и правой гранях элемента определяются по формулам

где расстояние от нейтральной линии (осиz) до центра элементарной площадки dA.

Определим продольные силы:

,

где– статический момент заштрихованной части сеченияотносительно осиz.

Определим разность

.

Из условия равновесия части элемента эта разность продольных сил, направленная влево, должна уравновешиваться касательными напряжениямив сеченииаb, направленными вправо.

Предполагается, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине сечения стержня. Таким образом,

,

где b(y) – ширина сечения на расстоянии y от нейтральной линии (оси z).

Отсюда, учитывая зависимость получим формулу Д.И. Журавского

По закону парности касательных напряжений в поперечных сечениях стержня возникают равные и противоположно направленные касательные напряжения.

Эпюры распределения касательных напряжений по высоте различных поперечных сечений приведены на рис. 25: для прямоугольника , десьА – площадь поперечного сечения для; круга .

а б в

Рис. 25. Распределение касательных напряжений по высоте: а – для

прямоугольника, б – круга, в – швеллера

9.3. Главные напряжения

Величина главных напряжений и положение главных площадок при изгибе стержня определяются по формулам

где – угол, определяющий положение двух взаимно перпендикулярных площадей относительно продольной оси стержня.

Рис. 26. Траектории главных растягивающих и сжимающих напряжений

На нейтральном слое, где главные напряжения равны касательным, т.е.и наклонены к продольной оси стержня под углом.

На рис. 26 сплошными линиями представлены траектории главных растягивающих напряжений а пунктиром – траектории главных сжимающих напряжений

9.4. Расчеты на прочность при изгибе

Как правило, нормальные напряжения при изгибе стержня значительно больше касательных. Поэтому проверка прочности и подбор сечения стержня производится в первую очередь по нормальным напряжениям.

1. Проверка прочности по нормальным напряжениям заключается в вычислении максимального напряжения и сравнении его с допускаемымУсловие прочности имеет следующий вид:

2. Подбор сечения стержня производится по формуле

По величине определяются поперечные размеры сечения. Если требуется подобрать прокатный профиль (швеллер, двутавр и др.), то по сортаменту выбирается такой номер профиля, у которого момент сопротивления является ближайшим большим к вычисленному.

3. Проверка прочности по касательным напряжениям заключается в вычислении касательного напряжения и сравнении его с допускаемым. Условие прочности имеет следующий вид:

4. Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию проверка прочности по главным напряжениям заключается в вычислении максимального главного напряжения и сравнении его с допускаемым Условие прочности имеет следующий вид:

Проверка прочности по главным напряжениям производится в тех сечениях балки, в которых изгибающий момент и поперечная силаодновременно имеют большие значения, При этом по высоте сечения следует найти такие точки, в которыхимеют одновременно большие значения. Как правило, такими точками являются места резкого изменения сечения тонкостенных стержней, наиболее удаленные от осиz.