Вопросы для повторения

1. Когда в брусе возникают деформации кручения?

2. Как определяют величину крутящего момента, действующего в сече-нии?

3. Какое правило знаков для Т принято при построении эпюр?

4. Как строятся эпюры крутящих моментов?

5. Как определяют угол закручивания на участке вала?

6. Что называют относительным углом закручивания θ (или кривизной кручения k_t)?

7. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого вала при кручении и как они направлены?

8. Какое напряженное состояние возникает в каждой точке вала круглого сечения при кручении?

9. Что называется жесткостью сечения при кручении?

10. Что выражает условие жесткости при кручении?

9. Плоский изгиб прямых стержней

9.1. Нормальные напряжения

Вывод формулы для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня при чистом изгибе основан на гипотезах рассмотренных ранее.

Рассмотрим элемент стержня длиннойdx (рис. 21, а). Под действием изгибающих моментов поперечные сечения элемента повернутся относительно друг друга на угол (рис. 21, б). При этом верхние волокна элемента сжимаются, а нижние − растягиваются. Слой, разделяющий зону растяжения и сжатия называетсянейтральным слоем (н.с.), а линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией (н.л.). Положение нейтрального слоя и нейтральной линии по высоте сечения являются неизвестными и подлежат определению.

Рис. 21. Элемент стержня: а – до деформирования;

б – после деформирования; в – поперечное сечение

Допустим, что волокно mn относится к нейтральному слою. Тогда при изгибе длина его не изменяется, а изменяется только кривизна. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя.

Определим деформацию волокна ab, расположенную на расстоянии у от нейтральной линии:

Из рис. 21, б видно, что

Следовательно,

Подставляя это выражение в формулу закона Гука, получим

Докажем связь нормальных напряжений с внутренними силовыми факторами. Для этого выделим в плоскости поперечного сечения стержня элементарную площадку dА на расстоянии у от нейтральной линии (рис. 21, в). Ось z совместим с нейтральной линией.

Суммируя элементарные продольные силы по площадиА поперечного сечения стержня, получим продольную силу N, т.е.

Но при чистом изгибе N = 0, следовательно,

.

Подставляя выражение , получим

Так как то

.

Интеграл в левой части является статическим моментом сечения относительно оси z. Равенство его нулю означает, что ось z, а следовательно, и нейтральная линия, проходят через центр тяжести сечения С.

Элементарные продольные силы создают относительно осиz элементарные изгибающие моменты, сумма которых должна быть статически эквивалентной изгибающему моменту в сечении, т.е.

Подставляя выражение , получим

где − момент инерции сечения относительно осиz. Произведение называется жесткостью при изгибе.

Подставляя полученную кривизну в выражение для напряжения, получим формулу для определения нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения на расстоянии у от нейтральной линии (оси z)

Из этой формулы следует:

1. Нормальные напряжения распределены равномерно по ширине сечения, т.е. во всех точках поперечного сечения, расположенных на одинаковом расстоянии у от нейтральной линии, напряжения одинаковы.

2. Нормальные напряжения равны нулю на нейтральной линии (при у = 0).

3. Максимальные нормальные напряжения возникают в крайних точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии (при ), и определяются по формуле

где −момент сопротивления сечения при изгибе.

4. По высоте сечения напряжения изменяются по линейному закону (пропорционально у).

Для различных форм поперечных сечений, симметричных относительно оси z, распределение нормальных напряжений по высоте одинаково и имеет представленный на рис. 22, а вид.

Рис. 22. Одинаковый характер распределения нормальных напряжений в балке (а) для различных сечений: прямоугольника (б),

круга (в), кольца (г), швеллера (д)

Рис. 23. Эпюра нормальных напряжений в сечении, несимметричном относительно оси z

Если ось z не является осью симметрии, то нормальные напряжения в точках сечения, наиболее удаленных от оси z, не одинаковы (рис. 23) и вычисляются по формулам:

где

При поперечном изгибе поперечная сила поэтому от ее действия поперечные сечения искажаются, а продольные волокна давят друг на друга. Однако это не оказывает заметного влияния на величину и характер распределения нормальных напряжений. Поэтому при поперечном изгибе нормальные напряжения вычисляются по тем же формулам, что и при чистом изгибе.

Момент сопротивления сечения при изгибе вычисляется по следующим формулам:

− для прямоугольного сечения (рис. 22, б)

− для круглого сечения (рис. 22, в)

− для кольцевого сечения (рис. 22, г)

(1),

где .

Моменты сопротивления прокатных профилей (швеллер, двутавр и др.) приведены в таблицах сортамента (приложение 1 – 4).