ответы на экзамен по математике(2 семестр)

1. Вычисление объемов тел вращения.

2. Вычисление площади поверхности вращения.

Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная

Если дуга гладкой кривой y f x a x b вращается

трапеция, ограниченная кривой y f x и прямыми

вокруг оси Ox, то площадь поверхности вращения

y 0, x a, x b, вращается вокруг оси Ox, то объем тела

вычисляется по формуле b

вращения вычисляется по формуле

Sx 2π y 1 y 2 dx.

a

b

Если кривая задана параметрическими уравнениями

2

Vx π y dx.

x x t , y y t t t t

,

a

2

1

Если фигура, ограниченная кривыми

t2

y1 f1 x и y2

f2 x 0 f1 x f2 x и прямыми x=a, x=b,

Sx 2π y x2 y2 dt.

вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения

t1

b

Vx π y22 y12

dx.

a

3.

Механические приложения определенных

4.

Несобственные интегралы.

интегралов.

Несобственные интегралы

Вычисление работы с помощью определённого

бывают 2-ух видов:

интеграла.

1)интервал интегрирования представляет собой бесконечность

Пусть

под

действием

некоторой

∞

∫ ( )

силы

материальная

точка

М движется по

прямой

в

−∞

направлении оси

. Требуется найти работу, произведённую

2)хотя бы 1 из пределов является точкой разрыва интегральной

функции

силой

при

перемещении

точки

М

из

ТЕОРЕМА(1): не собственный интеграл

∫∞ ( ) является сходящимся если существует предел

−∞

(∫

положения

в положение

.

lim

( ))

1)

Если сила постоянна

, то работа выражается

→∞

−

в противном случае интеграл является расходящимся

следующим образом

.

ПРИМЕЧАНИЕ.

В не собственных интегралах такого вида, один из пределов

2)

Если сила переменная величина, то

.

может быть конечным числом.

ТЕОРЕМА(2):

∫ ( )

b-точка разрыва

Th: Если есть не собственный интеграл где b-точка разрыва,

тогда не собственный интеграл является сходящимся, если

существует предел

−

lim ∫ ( )

→0

значение не собственного интеграла будет равняться пределу

если предел не существует не собственный интеграл является

расходящимся

Геометрическое изображение.

действия над числами. Формула Муавра.

Запись

Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через

вида

называется алгебраической или

его модуль r и аргумент φ :

координатной формой комплексного числа .

При этом действительное

число

называется действительной

частью числа :

, а действительное

Правила перехода от алгебраической формы комплексного числа к

число

- его мнимой частью:

.

тригонометрической

Величина называется мнимой единицей и

1. Находим модуль комплексного числа

удовлетворяет равенству

.

2. Для нахождения угла j сначала определяем геометрически, в какой

Для числа

действительная

четверти находится точка z

часть

, а мнимая -

.

Любому комплексному числу z = a + ib можно поставить в

3. Составляем уравнение

и по решению одного из

соответствие точку координатной плоскости. На оси

них находим угол j

абсцисс (действительная ось) будем откладывать

4. Записываем комплексное число z в тригонометрической форме.

действительную часть комплексного числа, а на оси

операции над комплексными числами.

ординат (мнимая ось) – мнимую часть. Таким образом, мы

Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической

построим взаимнооднозначное соответствие между всеми

комплексными числами и всеми точками плоскости. Если

форме и определяется следующим образом: суммой

такое соответствие построено, то координатная плоскость

называется комплексной плоскостью.

чисел

является число

Вычитаное.

Умножение:

Очень важной является интерпретация комплексного

числа z = a + ib как вектора OP на комплексной плоскости

с началом в точке O (0; 0) и концом в точке P с

координатами (a;

b). Ясно, что это соответствие является

Деление:

взаимнооднозначным: любому комплексному числу z = a

+ ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору

соответствует, и притом единственное, число z = a + ib.

Модулем комплексного числа называется длина вектора

OP, изображающего комплексное число на координатной

(комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+

bi обозначается |a+ bi| или буквой r и равен: Сопряжённые

Возведение в степень:

комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Аргумент комплексного числа - это угол между осью

Извлечение корня из комплексного числа

7. Показательная форма записи комплексного числа и

8. Дифференциальные уравнения первого

действия над ними. Формулы Эйлера.

порядка. Задача Коши для

Показательной формой комплексного числа называется

дифференциальных уравнений 1-го порядка.

выражение

— модуль

Уравнение вида

комплексного числа,

— расширение экспоненты на случай,

когда показатель степени является комплексным числом.

называется обыкновенным дифференциальным

уравнением первого порядка. Рассмотрим способы

решения некоторых его типов.

Для уравнений вида

с заданными граничными условиями доказана теорема

существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная

непрерывны. Тогда через

каждую точку (x0; y0) этой области проходит одна и

только одна интегральная кривая.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано

также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая

задача называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения

задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f

(x; y) и ее частная производная f ’y (x; y) непрерывны в

некоторой области D, содержащей точку (x0; y0), то

существует единственное решение y = φ (x) этого

уравнения, удовлетворяющее начальному условию y

(x0) = y0 или y | x = x0 = y0.

9. Дифференциальные уравнения с разделенными и с

10. Задачи, приводящие к дифференциальным

разделяющимися переменными.

уравнениям.

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

Математические модели в виде уравнений,

P (x) · dx + Q (y) · dy = 0.

связывающих независимую переменную, искомую

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Иногда

функцию и ее производные, называются

такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными.

дифференциальными. Решением дифференциального

Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

уравнения называется функция, которая при

∫ P (x) · dx + ∫ Q (y) · dy = c – его общий интеграл.

подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной

переменными, которые имеют вид: P1 (x) · Q1 (y) · dx + P2 (x) · Q2

переменной, то ДУ называют обыкновенным; в

(y) · dy = 0. Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты

противном случае – ДУ в частных производных.

при dx и dy представляют собой произведения двух функций

Процесс отыскания решения ДУ называется его

(чисел), одна из которых зависит только от x, другая – только от y.

интегрированием, а график решения ДУ – интегральной

кривой.

Задачи, приводящие к обыкновенным ДУ:

1) Закон изменения массы радия в зависимости от

времени («радиоактивный распад») описывается

дифференциальным уравнением dm/dt = – k · m, где k >

0 – коэффициент пропорциональности, m (t) – масса

радия в момент t;

2) Зависимость массы x вещества, вступившего в

химическую реакцию, от времени t во многих случаях

описывается уравнением dx/dt = k · x, где k –

коэффициент пропорциональности;

3) «Закон охлаждения тел», т.е. закон изменения

температуры тела в зависимости от времени,

описывается уравнением

dT/dt = k (T – t0), где T (t) – температура тела в момент

времени t, k – коэффициент пропорциональности, t0 –

температура воздуха (среды охлаждения).

11. Однородные дифференциальные уравнения,

12. Линейные дифференциальные уравнения 1-го

однородные функции.

порядка.

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся

Дифференциальное уравнение первого порядка называется

однородные ДУ первого порядка.

линейным, если его можно записать в виде y’ + p (x) · y = g (x),

Дифференциальное уравнение y’ = f (x; y) называется

где p (x) и g (x) – заданные функции, в частности – постоянные.

однородным, если функция f (x; y) есть однородная функция

Особенность этого ДУ: искомая функция y и ее производная y’

нулевого порядка.

входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между

Функция f (x; y) называется однородной функцией n-го

собой.

порядка (измерения), если при умножении каждого ее

аргумента на произвольный множитель λ вся функция

умножится на λn, т.е.

f (λ · x; λ · y) = λn · f (x; y).

Однородное ДУ можно записать в виде y’ = φ (y/x).

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной

форме: P (x; y) · dx + Q (x; y) · dy = 0.

ДУ будет однородным, если P (x; y) и Q (x; y) – однородные

функции одинакового порядка.

13. Метод вариации произвольной постоянной.

14. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим ЛНДУ y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Его общим

Уравнение вида y’ + p (x) · y = g (x) · yn, n Э IR, n ≠ 0, n ≠ 1

решением является функция y = y* + . Частное решение y*

называется уравнением Бернулли. Если n = 0, то это ДУ –

уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x) можно найти, если

линейное, а при n = 1 – с разделяющимися переменными.

известно общее решение соответствующего однородного

На практике ДУ удобнее искать методом И. Бернулли в виде

уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, методом вариации

y = u · υ (не сводя его к линейному).

произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в

следующем. Пусть = c1y1 (x) + c2y2 (x) – общее решение

уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Заменим в общем решении

постоянные c1 и c2 неизвестными функциями c1 (x) и c2 (x) и

подберем их так, чтобы функция y* = c1 (x) • y1 (x) + c2 (x) • y2 (x)

была решением уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Найдем

производную: (y*)’ = c’1 (x) y1 (x) + c1 (x) y’1 (x) + c’2 (x) y2 (x) + c2

(x) y’2 (x).

Подберем функции c1 (x) и c2 (x) так, чтобы

c’1 (x) • y1 (x) + c’2 (x) • y2 (x) = 0.

Тогда (y*)’ = c1 (x) • y’1 (x) + c2 (x) • y’2 (x),

(y*)” = c’1 (x) • y’1 (x) + c1 (x) • y”1 (x) + c’2 (x) • y’2 (x) + c2 (x) • y”2

(x). Подставляя выражение для y*, (y*)’ и (y*)” в уравнение y” +

α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), получим:

c’1 (x) • y’1 (x) + c1 (x) • y”1 (x) + c’2 (x) • y’2 (x) + c2 (x) • y”2 (x) +

α1 (x) [c1 (x) y’1 (x) + c2 (x) y’2 (x)] + α2 (x) [c1 (x) y1 (x) + c2 (x) y2

(x)] = f (x). Поскольку y1 (x) и y2 (x) – решения уравнения y” + α1

(x) y’ + α2 (x) y = 0, то выражения в квадратных скобках равны

нулю, а потому c’1 (x) • y’1 (x) + c’2 (x) • y’2 (x) = f (x).

Таким образом, функция y* = c1 (x) • y1 (x) + c2 (x) • y2 (x) будет

частным решением y* уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x),

если функции c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе уравнений:

{c’1 (x) • y1 (x) + c’2 (x) • y2 (x) = 0,

(1)

{c’1 (x) • y’1 (x) + c’2 (x) • y’2 (x) = f (x).

Определитель системы | y1 (x) y2 (x)

| ≠ 0, т.к. это

определитель

| y’1 (x) y’2 (x) |

Вронского для фундаментальной системы частных решений y1

(x) и y2 (x) уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Поэтому система

(1) имеет единственное решение: c’1 (x) = φ1 (x) и c’2 (x) = φ2 (x),

где φ1 (x) и φ2 (x) – некоторые функции от x. Интегрируя эти

функции, находим c1 (x) и c2 (x), а затем по формуле y* = c1 (x) •

y1 (x) + c2 (x) • y2 (x) составляем частное решение уравнения

y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x).

15. Дифференциальные уравнения высших порядков.

16. Основные виды дифференциальных уравнений

Задача Коши для дифференциальных уравнений

высших порядков и их решение.

высших порядков.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого

называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем

случае записывается в виде F (x; y; y’; y”) = 0 или, если это

возможно, в виде, разрешенном относительно старшей

производной: y” = f (x; y; y’).

Решением последнего ДУ называется всякая функция y = φ (x),

которая при подстановке в уравнение обращает его в

тождество.

Общим решением ДУ называется функция y = φ (x; c1; c2), где c1

и c2 – не зависящие от x произвольные постоянные,

удовлетворяющая условиям:

17. Система линейно-независимых функций.

18. Линейные дифференциальные уравнения n-го

Определитель Вронского.

порядка.

Функции y1, y2 , … , yn называются линейно независимыми на

Уравнение вида b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x),

(a; b), если равенство α1y1 + α2y2 + … + αnyn = 0 выполняется

где b0 (x) ≠ 0, b1 (x), … , bn (x), g (x) – заданные функции (от x),

лишь в случае, когда все числа αi = 0 (I = 1, 2, … , n); в противном

называются линейным ДУ n-го порядка.

случае (если хотя бы одно из чисел αi не равно нулю) функции

Если свободный член g (x) 0, то это уравнение называется

y1, y2 , … , yn – линейно зависимы.

линейным однородным уравнением; если g (x) ≠ 0, то уравнение

b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x) называется

Функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) называются линейно

неоднородным.

независимыми на интервале (a; b), если равенство

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го

α1y1 + α2y2 = 0, где α1 , α2 Э IR, выполняется тогда и только

порядка имеют вид y(n) + a1 (x) • y(n – 1) + a2 (x) • y(n – 2) + …

тогда, когда α1 = α2 = 0. Если хотя бы одно из чисел α1 или α2

+ an (x) • y = 0.

отлично от нуля и выполняется равенство α1y1 + α2y2 = 0, то

Если функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), … , yn = yn (x) являются

функции y1 и y2 называются линейно зависимыми на (a; b).

частными решениями этого уравнения, то его решением

Определитель Вронского имеет вид:

является функция y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn .