math-st796 / Дифференциальные уравнения в задачах и примерах_Пушкарь Е.А_Уч-метод. пос_МГИУ, 2007 -158с
.pdf
Ответы |
151 |
|
|
5. y = (e−x + e−2x) ln(ex + 1) + C1e−x + C2e−2x. 6. y = (C1 +
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ C1ex + C2e−x. |
|||||||
ln | sin x|) sin x + (C2 − x) cos x. 7. y = − |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. y = C1x3 + C2x−1. 2. y = C1 + C2 ln x + C3x3. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
(C |
cos ln x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. y = x |
sin ln x + 3). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. y = (x − 2) (C1 + C2 ln |x − 2|) + x − 1, 5. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln x − ln2 x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. y = C1x2 + |
|
|
|
(C2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. y = x(C1 + C2 ln |x|) + 2x3. |
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
7. y = C1 x + |
|
|
+ C2 |
|
x |
+ |
|
|
|
|
+ C3 x + |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√x |
|
|
2√ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||
8. y = C1 cos |
|
|
|
|
+ C2 sin |
|
. |
9. y |
= C1e |
+ C2e− |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. x = C2eC1t2 , y = |
|
1 |
|
|
|
|
e−C1t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2C1C2 |
1 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. x = 2 t |
|
2t , y = 2 2 |
t − C2t . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. x = C2e−C1 2 |
, y = |
|
|
|
|
te−C1 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. x2 − y2 = C1, 2t + (x − y)2 = C2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
= C1 |
, xy+z2 = C2. 2. x+z = C1, (x+y+z)(y−3x−z) = C2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. x −y + z = C1, ln |x|+ |
y |
= C2. 4. |
x |
= C1, x2 + y2 + z2 = C2z. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x = 2C1e3t |
|
|
|
|
4C2e−3t, |
2. |
|
x = et(C1 cos 3t + C2 sin 3t), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. y = C1e3t +−C2e−3t. |
|
|
|
|
|
|
y = et(C1 sin 3t |
− |
C2 cos 3t). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = (2C2 |
|
|
C1) cos 2t − (2C1 + C2) sin 2t, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = C1 cos−2t + C2 sin 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответы |
153 |
|
|
Занятие 24.
1. (2kπ, 0) – устойчивые, (π + 2kπ, 0) – неустойчивые.
2. (1;2) и (2,1) – неустойчивые. 3. (2;3) – неустойчивое, (-1; 0)
– устойчивое.
Занятие 25.
1. Неустойчивый узел. 2. Устойчивый узел. 3. Седло. 4. Центр. 5. Устойчивый узел. 6. Неустойчивый фокус.
Занятие 26.
1. (2; 4) – узел, (−1; −2) – фокус. 2. (3; 0) – фокус, (1; 1) – узел, (−1; 1) и (−3; 0) – седла. 3. (2; 2) – узел, (−2, 0) – седло, (−1; −1) – фокус.
154 |
Ответы |
|
|
ЛИТЕРАТУРА 1. Зубков В. Г., Ляховский В. А., Мартыненко А. И., Мино-
сцев В. Б. Под редакцией Миносцева В. Б. Курс высшей математики. Ч. 2 — М.: МГИУ, 2004.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. 3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкно-
венным дифференциальным уравнениям. — М.: Росвузиздат, 1962.
4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
5. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения. — М.: МГИУ, 2007.
6. Самойленко А. М, Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989.
7. Степанов В. В. Курс дифференциальныч уравнений. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.
8. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — М.: Интеграл-Пресс, 1998.
156 |
Оглавление |
|
|
дифференциального уравнения первого |
|
порядка |
57 |
11.2. Численное решение задачи Коши для |
|
дифференциального уравнения первого |
|
порядка, имеющего особенность |
57 |
12. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Дифференциальные |
|
|
уравнения высших порядков. Уравнения, |
|
|
допускающие понижение порядка |
60 |
13. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Дифференциальные |
|
|
уравнения высших порядков. Уравнения, |
|
|
допускающие понижение порядка |
70 |
14. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные |
|
|
однородные уравнения с постоянными |
|
|
коэффициентами |
75 |
15. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные |
|
|
неоднородные уравнения с постоянными |
|
|
коэффициентами |
79 |
16. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные |
|
|
неоднородные уравнения с постоянными |
|
|
коэффициентами |
85 |
17. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные |
|
|
уравнения с переменными коэффициентами |
92 |
18. |
Контрольная работа по дифференциальным |
|
|
уравнениям высших порядков |
101 |
19. |
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Численное |
|
|
решение краевой задачи для дифференциального |
|
|
уравнения второго порядка методом прогонки |
102 |
20. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Системы |
|
|
обыкновенных дифференциальных уравнений. |
|
|
Метод исключения неизвестных |
104 |
21. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Системы |
|
|
обыкновенных дифференциальных уравнений. |
|
|
Интегрируемые комбинации. Первые интегралы |
111 |
Оглавление |
157 |
|
|
|
|
22. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные системы |
|
|
с постоянными коэффициентами. Метод исключения |
|
|
неизвестных |
118 |
23. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные |
|
|
системы с постоянными коэффициентами с тремя |
|
|
уравнениями |
122 |
24. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Критерий |
|
|
устойчивости по первому приближению |
129 |
25. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Особые точки на |
|
|
фазовой плоскости |
135 |
26. |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Нелинейные |
|
|
системы. Устойчивость положений равновесия |
141 |
27. |
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. |
|
|
Численное решение задачи Коши для систем |
|
|
дифференциальных уравнений |
146 |
Учебное издание
Евгений Александрович Пушкарь
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебнo-методическое пособие
Редактор К.В. Шмат Оформление обложки А.М. Гришиной
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.002624.03.06 от 30.03.2006
Подписано в печать 09.02.2007
Формат бум. 60х84/16. Изд. № 1-02/07
Усл. печ. л. 10,0 Уч.-изд. л. 10,5 Тираж 1000 Заказ № 163
Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16
По вопросам приобретения продукции
издательства МГИУ обращаться по адресу:
115280, Москва, Автозаводская, 16 www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.ru; тел.: (495) 677-23-15
Отпечатано в типографии издательства МГИУ
115280, Россия, г.Москва, ул.Автозаводская, 16 тел./факс: (495) 674-62-50, 677-21-82, 677-24-92, 677-23-15
W W W . I Z D A T . M S I U . R U , e - m a i l : i z d a t @ m s i u . r u
ПРЕДЛАГАЕМ ВАШЕМУ ВНИМАНИЮ КНИГИ
Пушкарь Е.А.
Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 254 с.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений направления «Прикладная математика и информати- ка» (010500) и специальности «Математическое обеспечение
и |
администрирование информационных |
систем» (010503) |
и |
соответствует программе дисциплины |
«Дифференциальные |
уравнения»
Миносцев В.Б.
Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч. 1. – М.: МГИУ, 2006. – 480 с. Гриф Минобразования РФ
Представлены лекции и практические занятия по следующим разделам: множества, системы координат, функция одной пере- менной, теория пределов и числовые ряды, дифференциальное исчисление функции одной переменной, элементы линейной, векторной и высшей алгебры, аналитической геометрии.
Учебное пособие предназначено для студентов высших техниче- ских учебных заведений.
Миносцев В.Б.
Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч. 2. – М.: МГИУ, 2006. – 517 с. Гриф Минобразования РФ
Представлены лекции и практические занятия по следующим разделам математики: интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций несколь- ких переменных, кратные интегралы, криволинейные интегралы и теория поля, дифференциальные уравнения.
Учебное пособие предназначено для студентов высших техниче- ских учебных заведений.
Миносцев В.Б.
Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч. 3. – М.: МГИУ, 2006. – 484 с. Гриф Минобразования РФ
Представлены лекции и практические занятия по следующим разделам: дифференциальные уравнения в частных производ- ных, элементы вариационного исчисления и теории оптимиза- ции, теория вероятностей и математическая статистика.
Учебное пособие предназначено для студентов высших техниче- ских учебных заведений.
115280, Россия, г.Москва, ул.Автозаводская, 16 тел./факс: (495) 674-62-50, 677-21-82, 677-24-92, 677-23-15
W W W . I Z D A T . M S I U . R U , e - m a i l : i z d a t @ m s i u . r u
ПРЕДЛАГАЕМ ВАШЕМУ ВНИМАНИЮ КНИГИ
Миносцев В.Б.
Сборник типовых расчетов по высшей математике: Учебное пособие. Ч. 1. – М.: МГИУ, 2006. – 511 с.
Гриф Минобразования РФ В данную книгу вошли типовые расчеты, которые должны быть
выполнены студентами инженерных специальностей за время изучения математики в I-IV семестрах.
Рекомендовано Министерством образования Российской Феде- рации в качестве учебного пособия для студентов высших учеб- ных заведений.
Миносцев В.Б.
Сборник типовых расчетов по высшей математике: Учебное пособие. Ч. 2. – М.: МГИУ, 2006. – 511 с.
Гриф Минобразования РФ
В данную книгу вошли типовые расчеты, которые выполняются студентами инженерных специальностей по курсу высшей мате- матики.
Сборник типовых расчетов подготовлен преподавателями ка- федры общей и прикладной математики Московского государст- венного индустриального университета.
Роганов А.Е., Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М.
Математика и информатика для юристов: Учебник. – М.:
МГИУ, 2006. – 364 с. Гриф Минобразования РФ
В учебнике показано, как применять математику в юридической практике и криминалистике; изложены основы математической ста- тистики и современной информатики; описано моделирование про- цессов, интересующих юристов. Математические методы и теории иллюстрируются и дополняются практическими примерами.
Издание поможет специалистам, занимающимися юридической деятельностью, расширить свои профессиональные возможно- сти, а будущим юристам сформировать качественное профес- сиональное мышление.
Роганов А.Е., Тихомиров Н.Б., Шелехов А.М.
Математика и информатика для юристов: Учебно-
методическое пособие. – М.: МГИУ, 2006. – 40 с.
Пособие позволит лучше ориентироваться в материале, изло- женном в учебнике «Математика и информатика», позволит вы- делить наиболее важные вопросы учебного курса, выполнить лабораторные работы на основе свободного программного обес- печения.