math-st796 / Дифференциальные уравнения в задачах и примерах_Пушкарь Е.А_Уч-метод. пос_МГИУ, 2007 -158с

Отсюда находим четыре особые точки: A(−3; −2), B(−3; 2), C(3; 2), D(3; −2). Система первого приближения, соответствующая исходной системе, в окрестности особой точки (x0; y0) имеет вид

dxdt = 2x0(x − x0) − 2y0(y − y0), dydt = 2x0(x − x0) + 2y0(y − y0),

откуда, заменяя (x − x0) на x и y − y0 на y, получим

dxdt = 2x0x − y0y, dydt = 2x0x + 2y0y.

Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы определяются из уравнения

Если x0y0 < 0, то уравнение (24.5) имеет действительные корни разных знаков. Неравенство x0y0 < 0 выполняется для особых точек B и D. Таким образом, эти точки неустойчивы и являются особыми точками типа “седло”.

y

Рис. 24.2. Траектории решений системы (24.4)

Для точек A и C, как нетрудно убедиться, корни уравнения (24.5) комплексные. При этом действительные части корней уравнения, соответствующего точке A, отрицательны, а соответствующего точке C – положительны. Поэтому точка A соответствует асимптотически устойчивому положению равновесия (устойчивый фокус), а точка C – неустойчивому положению равновесия (неустойчивый фокус). Траектории решений исходной системы изображены на рис. 24.2.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на устойчивость все положения равновесия си-

стем уравнений:

25.ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Особые точки на фазовой плоскости

Задача 25.1. Определить тип положения равновесия и характер поведения фазовых кривых системы уравнений

dx

dt = x,

dy = x + 2y.

dt

Сделать чертеж.

Собственные значения λ1 и λ2 – вещественные, различные и имеют одинаковые знаки. Следовательно, положение равновесия (0; 0) – неустойчивый узел, так как оба собственных значения положительны. Для λ1 = 1 находим собственный вектор {1; −1}, а для λ2 = 2 – собственный вектор {0; 1}.

На плоскости xOy строим прямые x + y = 0 и x = 0, направленные вдоль указанных векторов. Каждая из этих прямых содержит три фазовые кривые, а именно положение равновесия и два луча, на которые прямые разделяются точкой O (0; 0).

Остальные фазовые кривые касаются при подходе к точке O (0; 0) прямой x + y = 0, которая соответствует меньшему по модулю собственному значению |λ1| < |λ2|. Схематически поведение фазовых кривых изображено на рис. 25.1.

Задача 25.2. Исследовать поведение фазовых кривых системы уравнений

dx

dt = −3x + 2y,dy = x − 4y.

dt

Рис. 25.2. (a) Рис. 25.2. (б)

Решение: Составим и решим характеристическое уравне-

Корни характеристического уравнения действительны и имеют разные знаки; следовательно, положение равновесия – седло. Найдем сепаратрисы седла, т. е. прямые, разделяющие гиперболы разных типов, которые являются фазовыми кривыми системы (собственно асимптоты этих гипербол).

Ищем их в виде y = kx. Для определения k имеем уравнение k = 2+32k k , из которого получаем уравнение 2k2 − 3k − 2 = 0,

корни которого k1 = −12 , k2 = 2.

Следовательно, y = −x/2 и y = 2x – искомые сепаратрисы. Каждая из этих прямых состоит из трех фазовых кривых: двух лучей и положения равновесия (0; 0). На лучах y = −x/2, x > 0 и y = −x/2, x < 0 исходная система принимает вид x˙ = −x,

y˙ = −y. Значит, вдоль лучей y = −x/2, x > 0 и x < 0 фазовая точка (x(t); y(t)) движется по закону x(t) = x0e−t, y(t) = y0e−t, т. е. движение точки с ростом t происходит по направлению

к началу координат. Аналогично, вдоль лучей y = 2x, x > 0 и x < 0 фазовая точка движется согласно системе уравнений

x˙ = 4x, y˙ = 4y, т. е. по закону x(t) = x0e4t и y(t) = y0e4t, то есть движение происходит в направлении от начала координат.

Этого достаточно, чтобы схематически изобразить фазовые кривые исходной системы и указать направления движения по этим кривым (рис. 25.2 (б)).

Задача 25.4. Исследовать поведение фазовых кривых си-

Если α = 0, то положение равновесия – центр. В этом случае исходная система имеет вид x˙ = y, y˙ = −x, решив которую, найдем, что x и y связаны соотношением x2 + y2 = c2, т. е. фазовые кривые системы – окружности радиуса |c| > 0 с центром в точке (0; 0) и сама точка (0; 0) (рис. 25.3).

Рис. 25.3

При α = 0 положение равновесия – фокус: устойчивый, если α < 0, и неустойчивый, если α > 0. В этом случае фазовые кривые – спирали, наматывающиеся на точку (0; 0) (рис. 25.3).