ser
.pdf
32
Вариант № 4
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
n n |
||
1) |
∑ |
|
|
|
|
2) |
∑ |
|
|
||||
2 |
n |
(n +2) |
|
|
2 |
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
n =1 |
|
(n!) |
|||||||
|
∞ |
|
|
n 2 n |
|
∞ |
sin2 n |
||||||
3) |
∑n |
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
2 |
+1 |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
n =1 |
|
|
3n − 1 |
|
n=1 |
|
||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
π |
∑(−1)n tg |
4 |
|
n=1 |
n |
|
|
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ n! (x +1)n
n=1 n2 +2
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
6
8 + 2х− х2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1 |
dx |
|
∫3 |
3 |
|
0 |
8 + x |
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = ex + y2 ; y(0) = 0
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = x 2 +1 , (−2 < x < 2)
33
Вариант № 5
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
ln 3n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
1) ∑ |
|
|
|
|
3 5 7... |
(2n +1) |
|||||
|
|
|
|
2) ∑ |
|||||||
|
|
|
|||||||||
5n |
|
|
|
|
|
n |
n! |
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
||||
∞ |
|
1 |
|
|
1 |
∞ |
1 |
|
|||
3) ∑(1 + |
) n2 |
|
4) ∑ |
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
(2n −1) ln(n +1) |
||||||||
n=1 |
|
n |
4 |
n=1 |
|||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
π |
|
∑(−1)n sin |
||
2 |
||
n=1 |
n |
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ 2n (x +1)n
n=1 n +1
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
ln(1 − x − 6x2 )
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5
∫sinx2x dx
0
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′=cos x + y2 ; y(0) =1
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
|
0 |
при |
− π < x ≤ 0 |
, (−π < x < π) |
f (x) = |
|
при |
0 < x < π |
|
x |
|
|||
34
Вариант № 6
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
1 |
sin π2 |
|
|
∞ |
(2n)! |
|
||||
1) |
∑ |
|
2) |
∑ |
|
|||||||
|
n |
|
n |
|||||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
n=1 |
n! 2 |
|
|
|||
|
∞ |
|
2n + 2 n |
|
∞ |
ln n |
||||||
3) |
∑ |
|
|
|
n3 |
4) |
∑ |
|
2 |
n |
||
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
3n +1 |
|
|
n=1 n |
|
|||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
∑(−1) n sin 2 n n |
|
n=1 |
n n |
|
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑ 2 |
n |
x n |
∞ |
n |
|
n=1 |
n 3 |
|
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
1
416 −3x
5.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5 |
− |
3x2 |
|
∫e |
|
|
|
25 dx |
|||
0 |
|
|
|
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = ex + y ; y(0) = 4
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = x +1, (−π < x < π)
35
Вариант № 7
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
1) |
∑ |
|
|
1 |
|
|
cos |
π |
2) ∑ |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||||||||
3n |
2 |
|
5 |
3n |
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
+ |
|
|
n=1 |
n |
2 πn |
|
||||||||
|
∞ |
2n |
2 |
+ 3 |
2n |
∞ |
|
cos |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|||||||
∑ |
7n |
2 |
− 6 |
|
|
|
n(n +1) |
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
sin |
2 |
3 |
n |
|
∑(−1)n |
|
|
|
||
3 |
n |
|
|
||
n=1 |
|
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ ln n (x −1)n
n=1 
n
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
2x cos2 x − x2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5
∫0 1+dxx3
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = x2 + y2 ; y(0) = 2
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = x , (−3 < x < 3)
36
Вариант № 8
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
7 |
n |
|
∞ |
|
|
|
|
||
1) ∑ |
+ 2 |
|
2) |
∑ |
|
|
(2n)! |
|||
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
n |
(3n + 5) |
||||||
n=1 |
5 + 3 |
|
|
n=1 |
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
3) ∑2n−1 e−n |
4) |
∑ |
|
|
|
|||||
(2n +1) ln(n +1) |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
|
∑(−1)n ln(1 + |
) |
||
2 |
|||
n=1 |
n |
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ nn (x +5)n
n=1 n!
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
ln(1 − x −12x2 )
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,4 |
|
5x 2 |
|
∫ |
cos |
|
dx |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
|
′ |
|
y2 |
|
|
y |
=sin x + 2 |
; y(0) =1 |
|||
|
|||||
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
f (x) = x −1, (−1 < x <1)
37
Вариант № 9
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
|
|
π |
|
|
∞ |
|
2 |
n |
n! |
|
1) |
∑2n |
sin |
|
2) |
∑ |
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|||||||||
n |
n |
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
3 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2n |
n2 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
||
3) |
∑ |
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
||
|
|
(2n +1)ln n |
|||||||||||
|
n=1 |
4n + 3 |
|
|
n=2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
n3 |
|
|
∑(−1)n |
|||
(n +1)! |
|||
n=1 |
|||
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
|
n |
|
∑ |
|
3 |
(x − 2)n |
2 |
n |
||
n=1 |
+ n |
|
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
shx2x−2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0∫,2 ln(1 + x2 ) dx
0 x
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = 2e y + xy; y(0) = 0
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
|
2 при |
− π < x ≤ 0 |
, (−π < x < π) |
f (x) = |
1 при |
0 < x < π |
|
|
|
38
Вариант № 10
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
1 |
|
π |
|
∞ |
7 |
n+1 |
||||
1) |
∑ |
tg |
2) |
∑ |
|
|
|
|||||
n |
4n |
n 3 |
n |
|||||||||
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
|
π |
|
∞ |
|
|
1 |
||
3) |
∑n4 arctg2n |
4) |
∑ |
|
|
|
||||||
3n |
|
(n − 2) ln(n −3) |
||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
n=5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
|
∑(−1) n |
|
||
(2n)! |
|||
n=1 |
|||
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
n |
(x −2)n |
∑ |
||
n=1 |
n! |
|
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал,
вкотором это разложение имеет место.
x4 3 8 + x
5.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
∫2 |
4 |
dx |
4 |
0 |
|
256 + x |
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = x + x2 + y 2; y(0) =5
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = x2 , (−π < x < π)
39
Вариант № 11
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
3n |
|
|
|||
1) |
∑ |
|
|
|
2) |
∑ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2n |
|
|
||||||
|
n=1 n n + 2 |
n2 |
|
n=1 |
+ 3 |
|
|
||||||||
|
∞ |
1 n +1 |
|
∞ |
|
|
|
ln n |
|
|
|||||
3) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
3 |
+ n |
+ 3 |
|||||||
|
n=1 |
|
n |
|
|
n=1 n |
|
||||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
|
3 |
|
∑(−1)n arctg |
|
2 |
||
n |
+ n + 3 |
|||
n=1 |
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
|
2 |
n |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
(x −1)n |
|
n |
+ |
2 |
n |
|||
n=1 |
3 |
|
|
|||
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
7
12 + x − x2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5
∫ 4 1dxx3
0 
+
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′=cos x− y2 ; y(0) = 2
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
f (x) =1 − x , (−π < x < π)
40
Вариант № 12
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
|
1 |
sin2 π |
|
∞ |
(2n)! |
|
||
1) |
∑ |
|
2) |
∑ |
|
|||||
|
|
n |
||||||||
|
2 |
|||||||||
|
n=1 |
2 |
|
n |
|
n=1 |
(n!) |
|||
|
∞ |
ln n n |
|
∞ |
1 |
|||||
3) |
∑ |
|
|
|
4) |
∑ |
(n +1) ln n |
|||
|
|
|||||||||
|
n=2 |
n |
|
n=2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
3n -1 |
n |
||
∑(−1)n |
|
|
|
||
n |
|||||
n=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
|
|
2 |
n |
|
n |
|
n |
∑ 1 |
+ |
|
|
4 |
|
x |
|
|
n |
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
arcsinx x −1
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5
∫sin(4x2 ) dx
0
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = ex + 2y2 ; y(0) =1
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = x2 −1, (−1 < x <1)
41
Вариант № 13
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
1 |
|
|
π |
∞ |
|
|
n n |
|
|
|||||
1) ∑ |
tg |
2) ∑ |
|
|
|
|
|||||||||
n |
n + 2 |
|
|
|
|
||||||||||
3 |
n |
|
|
||||||||||||
n=1 |
3 |
|
|
n=1 |
|
n! |
|||||||||
∞ |
|
n |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
3) ∑ |
|
|
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
n +1 |
||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5n |
|
−9) n − 2 |
||||
(2n2 +1) 2 |
n=3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
π |
|
∑(−1)n sin |
||
n |
||
n =1 |
2 |
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ n! (x +1)n
n=1 nn
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
x
327 − x
5.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,4 −3x2
∫e 4 dx
0
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = y2 − y ; y(0) = −2
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
− x при |
− π < x < 0 |
, (−π < x < π) |
|
f (x) = |
0 при 0 ≤ x < π |
||
|
|
||