ser

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет гражданской авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

cos (2k −1) x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

761.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Вычислим значения этих производных при x = 0, принимая во внимание

начальное условие y(0) =						1	и данное уравнение y' = x2 + y 2 , откуда
начальное условие y(0) =						2	и данное уравнение y' = x2 + y 2 , откуда
		1 2				2
y' (0) = 0		1 2			1	;	y' ' (0) = 2													1		1			1	;
	+		=												0 + 2								=
	+		=		4										0 + 2					2		4	=		4
		2		1	4	1			19											2		4			4
y' ' ' (0) = 2 + 2	1	+ 2		1		1	=		19		;	y (4)			(0) =			1			+	1	+	19		=		11	.
y' ' ' (0) = 2 + 2	42	+ 2	2			4	=				;	y (4)			(0) =			4			+	8	+		8	=			.
	42		2			4				8								4				8			8		4
Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получаем:
		y(x) =			1	+		1		x	+	1	x	2	+	19			x		3	+	11		x	4	+...
		y(x) =			2	+		4		x	+	8	x		+		48		x			+	96		x		+...
					2			4				8					48						96

III.РЯДЫ ФУРЬЕ

1.Рядом Фурье функции f (x), определённой на отрезке [–π, π], называется ряд

a0 + ∑∞ (an cos nx + bn sin nx), 2 n=1

коэффициенты которого определяются по формулам

a0 =

∫ f (x) dx ,

−π

an =

∫ f (x) cos nx dx

(n =1, 2, ...) ,

−π

bn =

∫ f (x) sin nx dx

(n =1, 2, ...)

(1.1)

При этом пишут

−π

∞

∑

f (x) ~

(an cos nx + bn sin nx)

(1.2)

n=1

Поскольку построение ряда (1.2) выполнено формально, то этот ряд может расходиться или сходиться, но сумма его, вообще говоря, может не совпадать с разложенной в него функцией.

2.Сформулируем достаточные условия, при выполнении которых ряд (1.2) имеет сумму, равную заданной функции f (x):

Функция f (x) может иметь на отрезке [–π, π] лишь конечное число максимумов и минимумов и должна быть непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода.

Эти условия называются условиями Дирихле.

Теорема Дирихле. Если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [–π, π], то её ряд Фурье сходится к функции f (x) во

всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции

ряд сходится к полусумме	f (c − 0) + f (c + 0)	её предельных значений
	2

слева и справа (c – точка разрыва первого рода). Если f (−π) ≠ f (π) , то

в точках ± π ряд сходится к значению	f (−π + 0) + f (π − 0)	. При этом
	2

сумма ряда (1.2) является периодической с периодом 2π функцией на всей оси Ox.

3. Пусть теперь функция f (x) задана на отрезке [–l, l]. Ряд Фурье в этом случае имеет вид

∞

nπx

f (x) ~

∑

(an

cos

+ bn sin

) ,

(3.1)

где

n=1

a0 =

∫ f (x) dx ,

−l

1 l

nπx

an =

∫ f (x) cos

(n =1, 2, ...) ,

−l

1 l

nπx

bn =

∫ f (x) sin

(n =1, 2, ...)

(3.2)

−l

Вопрос о сходимости

ряда

(3.1),

свою

очередь,

определяется

теоремой Дирихле, но на отрезке [–l, l], соответственно. Суммой ряда будет периодическая на всей числовой оси функция с периодом 2l.

Замечание: Значок ~ в (1.2) и (3.1) нужно понимать следующим образом: если f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на [–π, π] и [–l, l] соответственно, то во всех точках её непрерывности значок ~ надо заменить знаком = и помнить, что в точках разрыва сумма ряда равна

полусумме левого и правого пределов f (x) в этих точках,									а на концах
	f (−π) + f (π)	f (−l) + f			(l)		f (−π) ≠	f (π)	( f (−l) ≠ f (l)
отрезка –						, если
отрезка –	2		2			, если
	2		2
соответственно).
Пример 1. Разложить функцию
			f (x) = 0, − 2 ≤ x ≤ 0,
				x,	0 < x ≤ 2

в ряд Фурье на интервале (–2, 2).

Рис. 1

	a0	∞	nπx		nπx
f (x) =		+ ∑(an cos		+ bn sin		) . Данная функция непрерывна

2		n=1	2		2

на отрезке [–2, 2] и не имеет там экстремумов, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. Вычислим коэффициенты ряда:

																											1			0													2										1						x			2				2
																														0													2																			2				2
																			a0 =											∫0 dx + ∫x dx																				=																		=1;
																			a0 =								2			∫0 dx + ∫x dx																				=		2									2							=1;
																														−2													0																							0
																														−2													0																							0
				1		0									nπx														2										nπx													u					= x, du = dx,
an =				1			∫0 cos								nπx						dx						+ ∫x cos												nπx						dx
																																																		=																			nπx							2					nπx =
																																																		=																			nπx							2					nπx =
				2												2																								2												dv = cos																				, v =							sin
				2												2																								2												dv = cos																	2			, v =				nπ			sin			2
						−2																							0																																								2							nπ						2
	1						2						nπx						2		2						2									nπx														1						2				2										nπx				2
																			2		2																																							2														2
																								− ∫
=			x							sin																						sin										dx					=																				cos								=
=	2		x				nπ			sin				2				0										nπ				sin					2					dx					=			2					n		2			π			2				cos					2		0	=
																					0


		2																					0,							n = 2k − чётное																					(k =1, 2, ...),
=		2					(cos nπ																						4																4
													−1) =																																								,						n = 2k −1 − нечётное;
													−1) =
	n		2 π2																				−												= −
	n		2 π2																				−				n		2		π		2		= −			(2k −1)									2		π		2
																											n				π							(2k −1)											π
				1		0								nπx															2								nπx														u = x,													du = dx,
bn =				1			∫0 sin							nπx						dx + ∫x sin																	nπx							dx				=
																																																																				nπx								2						nπx
																																																																				nπx								2						nπx
				2												2																							2												dv						= sin														, v		= −						cos
				2												2																							2												dv						= sin												2		, v		= −				nπ		cos			2
						−2																							0																																								2								nπ					2
	1									2							nπx								2		2					2								nπx
	1									2							nπx								2		2					2								nπx
=			−			x					cos															+ ∫									cos										dx =
=	2		−			x			nπ		cos					2									0	+ ∫					nπ				cos						2				dx =
																											0												2
																											0
	1						2	2													2					2									nπx										2										n+1
								2																		2
				−
=						nπ				cos nπ +																				sin														=				(−1)													.
=	2					nπ				cos nπ +												n2 π2								sin				2										=		nπ		(−1)													.
																																						0
																																						0
					Таким образом, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
												1					∞												4													(2k −1)πx																		∞					2													nπx
						f (x) =						1		− ∑															4							cos						(2k −1)πx												+ ∑											2				(−1) n+1 sin									nπx		.
						f (x) =								− ∑							(2k						−1)2 π2									cos																		+ ∑															(−1) n+1 sin											.
										2							k =1				(2k						−1)2 π2																		2													n=1 nπ																					2

В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье для функции f (x) имеет вид

Рис. 2

4. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

а) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [–l, l] – чётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции будет содержать только a0 и члены с косинусами, т. е.

∞

nπx

f (x) =

+ ∑an cos

(4.1)

2 l

n=1

nπx

an =

∫ f (x) cos

(n = 0, 1, 2, ...), bn

= 0 .

Пример 2. Разложить

ряд

Фурье на отрезке

[–π, π] чётную

функцию f (x) = |x|.

Рис. 3

Данная функция непрерывна на заданном отрезке (l = π) и имеет на нём один экстремум, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле.

Ряд (4.1) в данном случае принимает вид

f (x) = a0 + ∑∞ an cos nx .

2 n=1

Так как f (x) = |x| = x при 0 ≤ x ≤ π, то

	2	π	2	x 2	π
	2	π	2	x 2	π
a0 =		∫x dx =			= π,
a0 =	π	∫x dx =	π	2	= π,
		0			0
		0			0

an = π2

=2 x sin nx

π n

0, n = 2k

= − 4 = −n 2 π

= x, du = dx,

∫x cos nx dx =

dv = cos nx dx, v =

sin nx

−

∫sin nx dx

(cos nπ −

1) =

((−1)

−1)

πn 2

πn2

− чётное			(k =1, 2, ...),
4		,	n = 2k −1	− нечётное. Следовательно,
(2k −1)2
	π

В соответствии с теоремой Дирихле, график суммы ряда Фурье – периодическая функция с периодом 2π, которая совпадает с f (x) на отрезке

[–π, π] (рис. 4).

Рис. 4

На рис. 5 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S1 (x) =

−

cos x ,

S2 (x) =

−

cos x −

cos 3x ,

S3 (x) =

−

cos x –

9π

–

cos 3x –

cos 5x :

9π

25π

Рис. 5

б) Пусть функция f (x), заданная на отрезке [–l, l] – нечётная и удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда ряд Фурье для этой функции будет содержать только члены с синусами:

				∞	nπx
				f (x) = ∑bn sin	nπx	,
				f (x) = ∑bn sin	l	,
				n=1	l
	2 l			n=1
	2 l		nπx
где bn =		∫ f (x) sin		dx (n = 0, 1, 2, ...) .
где bn =	l	∫ f (x) sin	l	dx (n = 0, 1, 2, ...) .
		0

Пример 3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [–2, 2] нечётную функцию f (x) = x.

Рис. 6 Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле,

так как непрерывна и не имеет там экстремумов. Ряд Фурье для данной функции имеет вид

f (x) = ∑∞ bn sin nπx ,

n=1 2

																27
		2		2		nπx					u = x,			du = dx,
		2		∫x sin		nπx
где bn	=								dx =							nπx				2				nπx			=
где bn	=								dx =							nπx				2				nπx			=
		2				2					dv	= sin					dx, v = −				cos
		2				2					dv	= sin				2	dx, v = −			nπ	cos				2
				0												2				nπ					2
	2				nπx		2			2	2		nπx					4					4					nπx	2
= − x	2		cos		nπx		2	+		2	∫cos		nπx		dx = −			4	cos nπ +				4			sin		nπx		=
= − x	nπ		cos					+		nπ	∫cos				dx = −			nπ	cos nπ +				2		2	sin				=
				2			0				0	2										n		π			2		0
				2			0					2										n		π			2		0

(−1)

n+1

. Таким образом,

nπ

∞

(−1)n+1

nπx

f (x) =

∑

sin

n=1

На рис. 7 изображены графики частичных сумм ряда Фурье S1

sin

πx

, S2 (x) =

sin

πx

−

sin πx , S3

(x) =

sin

πx

−

sin πx

2π

sin

3πx

3π

Рис. 7

(x) =

5.Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке [0, l].

Вэтом случае можно доопределить функцию на полуинтервал

[–l, 0) либо чётным, либо нечётным образом. В первом случае получится чётная на [–l, l] функция, которая будет раскладываться в ряд Фурье по косинусам, а во втором – нечётная на [–l, l] функция, и её ряд Фурье будет содержать только синусы. В обоих случаях на отрезке [0, l] эти ряды дадут разложение исходной функции в ряд Фурье.

Пример 4. Разложить функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0, π], доопределив её чётным образом на полуинтервал [–π, 0).

Врезультате получим чётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x) =

=φ (–x) = f (–x) = –x, следовательно, φ (x) = |x| на [–π, π]. Разложение этой функции было сделано в примере 2, и оно одновременно является разложением f (x) = x на отрезке [0, π].

Пример 5. Разложить функцию f (x) = x + 1, заданную на отрезке [0, 2], в ряд Фурье, продолжив её нечётным образом на полуинтервал [-2,0)

Рис. 8

В результате получим нечётную функцию φ (x); для x < 0 будет φ (x)

= – φ (–x) = – f (–x) = x – 1, следовательно, φ (x) =	x −1,	− 2	≤ x < 0,	Эта
		0 ≤ x ≤ 2.
	x +1,

функция непрерывна на [–2, 2] за исключением точки x = 0, в которой она имеет разрыв первого рода, т. е. удовлетворяет условиям Дирихле:

∞

nπx

φ (x) = ∑bn sin

n=1

nπx

u = x +1, du

= dx,

∫

где bn

(x +1) sin

dx =

nπx

dv = sin

dx, v = −

cos

nπ

nπx

[− 3 cos nπ +1]

nπx

− (x +1)

cos

∫cos

dx =

sin

nπ

[1 − 3 (−1)n ]=

1 + 3 (−1)n+1

. Таким образом,

nπ

∞

(−1)n+1

nπx

φ (x) =

∑

1 + 3

sin

n=1

В этот ряд одновременно разложена заданная на [0, 2] функция f (x) = x + 1. Замечание: Можно также разложить f (x) и на отрезке [0, l], но тогда в разложение войдут члены ряда и с синусами, и с косинусами, а сумма

ряда будет периодической функцией с периодом T = l.

Вариант № 1

1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

∞

n!(2n +1)!

∑ n

sin

∑

(3n)!

n=1

∞

∑

(n +1)

n=1

n +1

n=1 n ln

2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.

∞		n n
∑(−1)n

n=1		2n +1

3. Найти область сходимости степенного ряда.

∑∞ n +1 (x −2)n

n=1 n2 2n

4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.

20 − х − х2

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

1 − x 2

∫e 2 dx

6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .

y′=sin x + y2 ; y(0) =1

7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье

f (x) =1 − x , (−2 < x < 2)

Вариант № 2

1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

∞				∞
1) ∑ln n						(2n)!
			2)	∑
						n
n=2	n			n =1	2		+ 3
∞	2n	n		∞		sin 2 n
3) ∑n4			4)	∑		n	2	+ 1

n =1	3n + 5			n =1

2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.

	∞	(−1)n
	∑
		(n +1)ln n
	n =1

3. Найти область сходимости степенного ряда.

∞		3n
∑			(x −3)n
	n	2
n=1		+1

4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.

ch 3x −1

х2

5.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

2,5	dx
∫ 4	dx	4
0	625 + x

y′= y + y2 ; y(0) =3

f (x) =1 + x , (−1 < x <1)

Вариант № 3

1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

∞ sin

∞

1) ∑

∑n! sin

n=1

n 2

n=1

∞

∑n=1 (3n+1) ln2(n+2)

3) ∑n =1 10n + 5

2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.

∞		(−1)n
∑
	2	n +1
n =1		(2n +1)

3. Найти область сходимости степенного ряда.

∑∞ 5n (x + 2)n

n=2 n

4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал,

вкотором это разложение имеет место.

4 − x

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

∫1−cosx xdx

y′ = 2e y − xy ; y(0) = 0

f (x) =	π− x	, (−π < x < π)
	2

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.201948.57 Кб8Psikhicheskie_yavlenia.docx
#
22.03.2016615.21 Кб91refer.rtf
#
30.08.201961.46 Кб6Relig.docx
#
23.09.2019283.79 Кб16Sapromat_-_otvety.docx
#
01.05.2025270.34 Кб0Sbornik_zadach_Pascal.doc
#
22.03.2016761.86 Кб19ser.pdf
#
01.05.2025939.02 Кб0shpory_2_blok.docx
#
22.03.2016147.46 Кб14sociology.doc
#
01.04.20251.65 Mб0SPO_shpory.doc
#
19.09.201957.88 Кб7STK.docx
#
13.11.2019211.46 Кб25Tapescripts.doc